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Sagot :
Réponse : Bonjour,
[tex]\displaystyle \int (x+1)e^{x} \; dx=\int xe^{x}+e^{x} \; dx=\int xe^{x} \; dx+\int e^{x} \; dx[/tex]
On calcule [tex]\int xe^{x} \; dx[/tex], par une intégration par parties:
[tex]\displaystyle \int xe^{x} \; dx=xe^{x}-\int e^{x} \; dx=xe^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1)[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle \int (x+1)e^{x} \; dx=e^{x}(x-1)+e^{x}=e^{x}(x-1+1)=xe^{x}[/tex]
Donc une primitive sur [tex]\mathbb{R}[/tex] de g est la fonction [tex]x \mapsto xe^{x}[/tex].
Vérification: On calcule la dérivée de la primitive trouvée:
[tex](xe^{x})'=1 \times e^{x}+e^{x} \times x=e^{x}(1+x)=e^{x}(x+1)=g(x)[/tex].
Donc la fonction [tex]x \mapsto xe^{x}[/tex], est bien une primitive de g sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
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