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Bonjour !
L'ensemble de définition pour ce genre de problèmes est l'ensemble des x tels que le dénominateur est non nul (car on ne peut pas diviser par 0).
[tex]f_1(x)=\frac{3x^2-5x+7}{2x^2-x-1}[/tex]
Donc le dénominateur vaut 0 quand 2x² - x - 1 = 0.
On calcule le discriminant : Δ = 1 + 8 = 9 > 0
Donc 2x² - x - 1 = 0 pour x = (1±3)/4 donc x=1 et x=-1/2.
L'ensemble de définition de f₁ est donc tout l'ensemble des réels sauf 1 et -1/2.
Pour la dérivée on utilise la formule (u/v)' = (u'v-uv')/v² :
[tex]f_1'(x)=\frac{(6x-5)(2x^2-x-1)-(3x^2-5x+7)(4x-1)}{(2x^2-x-1)^2}\\=\frac{(12x^3-6x^2-6x-10x^2+5x+5) - (12x^3-3x^2-20x^2+5x+28x-7)}{(2x^2-x-1)^2}\\=\frac{(12x^3-16x^2-x+5) - (12x^3-23x^2+33x-7)}{(2x^2-x-1)^2}\\=\frac{7x^2-34x+12}{(2x^2-x-1)^2}[/tex]
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[tex]f_2(x)=6-5x+\frac{1}{4x-7}[/tex]
f2 n'est pas définie quand 4x-7 = 0 donc quand x=7/4. L'ensemble de définition de f2 est donc tout l'ensemble des réels sauf 7/4.
On utilise la formule de dérivation (1/u)' = -u'/u² :
[tex]f_2'(x)= -5 + \frac{-4}{(4x-7)^2} = -5 - \frac{4}{(4x-7)^2}[/tex]
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[tex]f_3(x)=(2x-3)\sqrt{x}[/tex]
f3 n'est pas définie quand x est <0 car racine n'est pas définie quand x<0, donc l'ensemble de définition de f3 est R+.
On utilise la formule de dérivation (uv)'=u'v+uv' et la formule de dérivation de racine :
[tex]f_3'(x)=2\sqrt{x} + (2x-3)\frac{1}{2\sqrt{x}} = 3\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}}[/tex]
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[tex]f_4(x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}[/tex]
f4 n'est pas définie quand x est <0 car racine n'est pas définie quand x<0, et n'est pas définie quand x=0 car alors le dénominateur est nul. Donc l'enemble de définition est R+*.
On utilise la formule (1/u)' = -u'/u² :
[tex]f_4'(x)=\frac{3}{2}\frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}^2} = \frac{3}{2}\frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{-3}{4x\sqrt{x}}[/tex]
N'hésite pas si tu as des questions :)
