Réponse : Bonsoir,
L'intégrale recherchée est constituée de quatre aires distinctes, que l'on va calculer une par une.
i) Première aire.
Il s'agit d'un carré de côté 4, et du demi-cercle de diamètre [AB].
L'aire du carré est 4²=16.
Le diamètre [AB] est égal à 4, donc l'aire du demi-cercle de diamètre [AB] est:
[tex]\frac{\pi \times 2^{2}}{2}=\pi \times 2=2\pi[/tex].
Donc la première aire est égal à [tex]\mathcal{A}_{1}=16+2\pi[/tex].
ii) Deuxième aire.
L'aire sous la courbe de f entre les points d'abscisses x=2, et x=4, est égale à la différence de l'aire du rectangle de longueur 4 et de largeur BC, et du demi-cercle de diamètre [BC].
Comme BC=2, l'aire du rectangle est égale à [tex]4 \times 2=8[/tex].
L'aire du demi-cercle de diamètre [BC] est égale à:
[tex]\frac{\pi \times 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}[/tex].
Donc la deuxième aire est égale à [tex]\mathcal{A}_{2}=8-\frac{\pi}{2}[/tex].
iii) Troisième aire.
Il s'agit de l'aire sous la courbe de f entre les points d'abscisses x=4 et x=6.
Cette aire est égale à l'aire du rectangle de longueur 4 et de largeur 2, ajouté de l'aire du demi-cercle de diamètre [CD].
L'aire du rectangle est égale à [tex]4 \times 2=8[/tex].
L'aire du demi-cercle de diamètre [CD] est:
[tex]\frac{\pi \times 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2}[/tex]
Cette troisième aire est égale à [tex]\mathcal{A}_{3}=8+\frac{\pi}{2}[/tex].
iv) Quatrième aire.
L'aire sous la courbe de f entre les points d'abscisses x=6 et x=12 est égale à l'aire du rectangle de longueur DE et de largeur 4, retranché de l'aire du demi-cercle de diamètre [DE].
L'aire du rectangle est égale à [tex]4 \times DE=4 \times 6=24[/tex].
L'aire du demi-cercle de diamètre [DE] est égale à:
[tex]\frac{\pi \times 3^{2}}{2}=\frac{9\pi}{2}[/tex].
Donc la quatrième aire est égale à [tex]\mathcal{A}_{4}=24-\frac{9\pi}{2}[/tex].
Donc l'intégrale recherchée est égale à:
[tex]\int_{-2}^{12} f(x) dx=\mathcal{A}_{1}+\mathcal{A}_{2}+\mathcal{A}_{3}+\mathcal{A}_{4}=16+2\pi+8-\frac{\pi}{2}+8+\frac{\pi}{2}+24-\frac{9\pi}{2}\\\int_{-2}^{12} f(x) dx=56+2\pi-\frac{9\pi}{2}=56+\frac{4\pi-9\pi}{2}=56-\frac{5\pi}{2}=\frac{112-5\pi}{2}[/tex]
