Yurisane
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Bonjour, quelqu'un pourrait m'aider à calculer la limite de cette fonction en -∞ et +∞ svp ?

[tex]f(x) = \frac{e^{2x}+e^{x}+1}{e^{x}+2}[/tex]

Sagot :

Bonjour ;

On a : lim(x-->+∞) 1/e^x = 0 et lim(x-->+∞) 1/e^(2x)

= lim(x-->+∞) 1/(e^x)² = 0 ;

donc : lim(x-->+∞) f(x) = lim(x-->+∞) (e^(2x) + e^x + 1)/(e^x + 2)

= lim(x-->+∞) ((e^x)² + e^x + 1)/(e^x + 2)

= lim(x-->+∞) ((e^x)²(1 + 1/e^x + 1/(e^x)²))/(e^x(1 + 2/e^x))

= lim(x-->+∞) (e^x(1 + 1/e^x + 1/(e^x)²))/(1 + 2/e^x) = + ∞ ,

car : lim(x-->+∞) 1 + 1/e^x + 1/(e^x)² = 1 et lim(x-->+∞) 1 + 2/e^x = 1 .

On a : lim(x-->- ∞) e^x = 0 ; lim(x-->- ∞) e^(2x) = lim(x-->- ∞) (e^x)² = 0 ;

donc : lim(x-->- ∞) e^(2x) + e^x + 1 = 1 et lim(x-->- ∞) e^x + 2 = 2 ;

donc : lim(x-->- ∞) f(x) = lim(x-->- ∞) (e^(2x) + e^x + 1)/(e^x + 2) = 1/2 .

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