Bonsoir
Considérons le produit du 1er facteur avec le 7ème facteur :
[tex](1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})\\\\=[(1+\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})][(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})]\\\\=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\\\\=[1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]-[(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2]\\\\=(1+2\sqrt{2}+2)-(3+2\sqrt{15}+5)\\\\=1+2\sqrt{2}+2-3-2\sqrt{15}-5\\\\=-5+2\sqrt{2}-2\sqrt{15}[/tex]
Considérons le produit du 2ème facteur avec le 8ème facteur :
[tex](1-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5})\\\\=[(1-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})][(1-\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})]\\\\=(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2\\\\=[1-2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]-[(\sqrt{3})^2+2\sqrt{3}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2]\\\\=(1-2\sqrt{2}+2)-(3+2\sqrt{15}+5)\\\\=1-2\sqrt{2}+2-3-2\sqrt{15}-5\\\\=-5-2\sqrt{2}-2\sqrt{15}[/tex]
Considérons le produit du 3ème facteur avec le 4ème facteur :
[tex](1+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\\\\=[(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{5})][(1+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})]\\\\=(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\\\\=[1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]-[(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2]\\\\=(1+2\sqrt{2}+2)-(3-2\sqrt{15}+5)\\\\=1+2\sqrt{2}+2-3+2\sqrt{15}-5\\\\=-5+2\sqrt{2}+2\sqrt{15}[/tex]
Considérons le produit du 5ème facteur avec le 6ème facteur :
[tex](1-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\\\\=[(1-\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{5})][(1-\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})]\\\\=(1-\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2\\\\=[1-2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2]-[(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2]\\\\=(1-2\sqrt{2}+2)-(3-2\sqrt{15}+5)\\\\=1-2\sqrt{2}+2-3+2\sqrt{15}-5\\\\=-5-2\sqrt{2}+2\sqrt{15}[/tex]
Donc
[tex]P=(-5+2\sqrt{2}-2\sqrt{15})(-5-2\sqrt{2}-2\sqrt{15})(-5+2\sqrt{2}+2\sqrt{15})(-5-2\sqrt{2}+2\sqrt{15})\\\\P=(-5+2\sqrt{2}-2\sqrt{15})(-5+2\sqrt{2}+2\sqrt{15})(-5-2\sqrt{2}-2\sqrt{15})(-5-2\sqrt{2}+2\sqrt{15})\\\\P=[(-5+2\sqrt{2})^2-(2\sqrt{15})^2][(-5-2\sqrt{2})^2-(2\sqrt{15})^2]\\\\P=(25-20\sqrt{2}+4\times2)-4\times15][(25+20\sqrt{2}+4\times2)-4\times15]\\\\P=(25-20\sqrt{2}+8-60)(25+20\sqrt{2}+8-60)\\\\P=(-27-20\sqrt{2})(-27+20\sqrt{2})\\\\P=(-27)^2-(20\sqrt{20})^2\\\\P=729-400\times20\\\\P=729-800[/tex]
[tex]P=-71[/tex]
