Exercice 3
Voir schéma joint.
1) La médiatrice (CD) de [OA] est perpendiculaire à [OA] et passe par le milieU de [OA].
Les points C et D sont sur la médiatrice de [OA] et appartiennent au cercle C donc CH=DH.
[OA] et [CD] sont les diagonales du quadrilatère ACOD et se coupent en leur milieu, donc ACOD est un losange.
Angle câo
C est un point de la médiatrice de [OA], on a CA = CO.
De plus, CO = OA, car [OC] et [OA] sont deux rayons du cercle (C), d'où OC = OA = CA.
Donc et le triangle COA est équilatéral.
Or les angles d'un triangle équilatéral sont tous égaux à 60°
Donc câo = 60°
2) calcul AH
H est le milieu de [OA] et OA = AH+HO
or AH=HO
donc OA = 2AH
d'où
AH =OA/2
AH = 4/2
AH = 2 cm
Calcul HB
HB=HO+OB
HB=2+4
HB = 6 cm
Calcul AC
Le triangle ACB est inscrit dans le cercle C et [AB] est le diamètre du cercle, donc ABC est un triangle rectangle.
donc cos(câo)=AC/AB
d'où
AC = AB*cos(60°) (* signifie multiplié par)
AC = 8*0.5
AC = 4 cm
Calcul CB
Le triangle ACB est inscrit dans le cercle C et [AB] est le diamètre du cercle, donc ABC est un triangle rectangle.
donc sin(câo) = CB/AB
d'où
CB = AB*sin(60°)
CB = 8*sin(60°)
CB = 6.93 cm
Calcul CH
[CD] est la médiatrice de [OA] donc (CH) est perpendiculaire à (AH).
Le triangle ACH est rectangle en H.
Donc tan(câo) = CH/AH
d'ou
CH = AH*tan(60°)
CH = 2*tan(60°)
CH = 3.46 cm
3)
a) calcul des angles de CEB
Calcule angle C
Le triangle ACB est inscrit dans le cercle C et [AB] est le diamètre du cercle, donc ABC est un triangle rectangle en C.
le points A appartient à la droite (CE) donc le triangle CEB est rectangle en C.
d'où angle C = 90°
Calcul angle B
Le triangle BCD est inscrit dans le cercle C et intercepte l'arc CD.
O est le centre du cercle C, donc 2*angle B = angle 0
or angle O = 2*60° = 120°
d'où angle B = 60°
Calcul angle E
La somme des angles d'un triangle = 180°
angle c + angle b + angle E = 180
90 + 60 + angle E = 180
angle E = 180 - 150
angle E = 30 °
b) Calcul BE
CEB est un triangle rectangle en C donc
cos(B) = CB/BE
d'où
BE = CB/cos(60°)
BE = CB/0.5 or 1/0.5 = 2
BE = 2*CB
BE = 2*6.93
BE = 13.86 cm
Calcul CE
CEB est un triangle rectangle en C donc
tan(B) = CE/CB
d'où
CE = CB*tan(60°)
CE = 6.93*tan(60°)
CE = 12 cm
c) que représente la droite (CD) pour le triangle CEB
D appartient au cercle C et DH = CH donc BD = CB
or BE = 2*CB donc BE = 2*BD
donc (CD) est la médiane qui joint le sommet C au coté opposé [BE].
