Alice31
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Bonsoir, j'aurai besoin qu'on m'explique une donnée trouver que je ne comprend pas :)
Dans cette correction d'excercice ci dessous, à la toute fin, dans la partie C , le résultat de la 2 méthode , il y a 0.97^x ... Pourquoi 0.97 ??
Merci ! :)

SUJET : ANTILLES GUYANE SEPTEMBRE 2013CORRECTION DE L'EXERCICE 3 : COMMUN À TOUS LES CANDIDATSEn 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :10% des participants ne renouvelaient pas leur adhésion au club ;20 nouvelles personnes s'inscrivaient au club.On suppose que cette évolution reste la même au fil des ans.
PARTIE A: On donne l'algorithme suivant :
Entrée
Saisir n entier positif
Traitement :X prend la valeur 80 {initialisation}Pour i allant de 1 à n
Affecter à X la valeur 0,9X+20
Fin Pour
X prend la valeur de X arrondie à l'entier inférieur
Sortie
Afficher XPour la valeur n=2 saisie, quelle est la valeur affichée à la sortie de cet algorithme ? Le nombre affiché est 102

PARTIE BOn considère la suite (an) définie par a0=80 et, pour tout entier naturel n, an+1=0,9an+20. Pour tout entier naturel n, on pose : bn=an−200.Démontrer que (bn) est une suite géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
Pour tout entier n,bn+1===an+1−2000,
9an+20−2000,
9an−1800,9×(an−200)
0,9bn
Pour tout entier n, bn+1=0,9bn donc (bn) est une suite géométrique de raison 0,9.
D'autre part,b0=a0−200 soit b0=80−200=−120 Ainsi, (bn) est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme b0=−120.

Exprimer bn en fonction de n.
On a donc : bn=−120×0,9n.En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : an=200−120×0,9n.
Pour tout entier n, bn=an−200 d'où an=bn+200.
Donc pour tout entier naturel n, on a : an=200−120×0,9n.Quelle est la limite de la suite (an) ?
0<0,9<1 donc lim0,97n=0 d'où, lim200−120×0,9n=200. Soit liman=200.
La suite (an) converge vers 200.PARTIE CL'objectif du président du club est d'atteindre au moins 180 adhérents. Cet objectif est-il réalisable ?
Dire la suite (an) converge vers 200 signifie qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite seront proches de 200. Objectif réalisable.Même question si l'objectif du président du club est d'atteindre au moins 300 adhérents.
Connaître la limite de la suite (an) ne suffit pas pour répondre à cette question.Cherchons les solutions évenuelles de l'inéquation an>300
200−120×0,9n>300
⇔−120×0,9n>100
0,9n>−5/6
Or pour tout réel x, 0,97x>0 par conséquent, l'inéquation an>300 n'a pas de solution.L'objectif du président du club d'atteindre au moins 300 adhérents n'est pas réalisable.

Sagot :

Bonsoir, 

En fait, il y a deux erreurs.

La première erreur se situe ici :

⇔−120×0,9n>100
0,9n>−5/6

Le sens de l'inégalité soit changer puisque le passage de la première ligne à la seconde se fait en divisant les deux membres de l'inéquation par -120 qui est négatif.

Donc nous avons plutôt ceci : 

[tex]-120\times 0,9^n>100\\\\0,9^n<\dfrac{100}{-120}\\\\\boxed{0,9^n<-\dfrac{5}{6}}[/tex]

Cette inéquation est impossible car toute exponentielle est strictement positive [tex](\ 0,9^n>0\ )[/tex].
Un nombre positif ne peut pas être inférieur à -5/6 !

C'est la deuxième erreur à signaler, mais c'est plutôt une faute de frappe.
Il n'y a pas de 0,97, ni de x.

NB. : La 1ère erreur est plus grave...

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