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Bonjour tout le monde ! J'ai vraiment besoin d'aide pour mon exercice de math avant demain !! Aidez moi svp !

Voici l'énoncé :

 

Dans un parterre rectangulaire, un maçon souhaite construire une dalle en béton sur un quadrilatère MNPQ de telle sorte que M soit sur [AB], N sur [BC], P sur [CD] et Q sur [DA] avec comme condition AM=BN=CP=DQ. [AB] mesure 10 mètres et [AD] 6 mètres.

Le maçon, curieux, se pose plusieurs questions :

• Comment évolue l’aire de la terrasse bétonnée en fonction de AM ?

• Est-il possible que l’aire de la surface bétonnée soit égale à l’aire de la surface restante ?

• Comment faire pour que l’aire de la terrasse bétonnée soit la plus petite possible ?

• Est-il possible que l’aire de la surface bétonnée soit égale à 60% de l’aire du parterre ?

• Est-il possible que l’aire de la surface bétonnée soit égale à 40% de l’aire du parterre ?

 

Questions :

 

1. Visualisation de la situation à l’aide d’un logiciel de géométrie. A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la figure correspondante, puis émettre des conjectures sur les questions posées.

2. Modélisation de la situation. Soit x la longueur AM en mètres. Après avoir précisé l’ensemble des valeurs possibles de x exprimer l’aire f(x) de la terrasse bétonnée en fonction de x. Montrer que : f(x)=2(x-4)²+28 = 2(x-2)(x-6)+36

3. Utilisation de la calculatrice. A l’aide de la calculatrice, émettre à nouveau des conjectures sur les différentes questions posées par le maçon.

4. Démontrer algébriquement. Choisir la forme d’écriture de f(x) la mieux adaptée pour démontrer les différents résultats conjecturés.

 

 

Le 1 n'est pas à faire et voici mes réponses :

 

2. L’ensemble des valeurs possibles de x sont les valeurs appartenant

à l’intervalle ]0 ; 6 ].

 

Calcul de f(x) :

 

AireMNPQ = AireABCD – (AireMBN + AirePDQ + AireNCP + AireQAM)

On sait que : AireMBN = AirePDQ Et AireNCP = AireQAM

Donc :

 

AireMNPQ  = 6*10 – [2 ((x(10-x))/2)+ 2 ((x(6-x))/2) ]

                   = 60 – [ x(10-x) + x(6-x) ]

                   = 60 – (10x –x² + 6x – x² )

                   = 60 – 10x + x² - 6x + x²

                   = 2x² - 16x + 60

 

Merci énormément pour ce qui m'aideront !!

Sagot :

1) il faut utiliser le logiicel GEOGEBRA (si tu veux , je te l'envoie en pièce jointe...

 

 

 

2) x appartient à [0 ; 6 ] limité par la largeur [AD]

 

 

 

f(x)= AireMNPQ = AireABCD – (AireMBN + AirePDQ + AireNCP + AireQAM)

     = 6*10 – [2 ((x(10-x))/2)+ 2 ((x(6-x))/2) ]

 

     = 60 – [ x(10-x) + x(6-x) ]

 

     = 60 – (10x –x² + 6x – x² )

 

     = 60 – 10x + x² - 6x + x²

 

     = 2x² - 16x + 60 (ceci est juste pour toi...)

 

3) 2(x-4)²+28=2(x²-8x+16)+28=2x²-16x+60=f(x)

2(x-2)(x-6)+36=2(x²-8x+12)+36=2x²-16x+60=f(x)

 

4) nous avons alors 3 formes de f(x):

- f(x)=2x² - 16x + 60 forme développée

- f(x)=2(x-4)²+28 forme canonique

- f(x)=2(x-2)(x-6)+36 forme semi factorisée

 

pour la question aire max , on choisit la forme canonique (max pour x=4)

pour la question aire = aire restante, on choisit canonique (f(x)=30 donc x=3 ou x=5)

pour la quesion aire=60% on choisit la forme semi factorisée (f(x)=36 donc x=2 ou x=6)

pour la quesion aire=40% on choisit la forme canonique (f(x)=24 donc pas de solution)

 

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