je ne peux rien te tracer:
2: a) g(2) est l'aire entre l'axe des abscisses et la fonction f entre x=0 et x=2.
b) compte tenue du tableau, de 0 à 2 f(x) est positif donc 0≤g(2),
sur [0;2] la fonction est croissante le maximum est 1+[tex]e^{-2}[/tex]
donc g(2)≤2×(1+[tex]e^{-2}[/tex])≈2.27 donc a fortiori g(2)≤2.5
donc 0≤g(2)≤2.5
3;a) pour tout x dans [2;+∞[ f est décroissante quand x tend vers +∞ f(x) tend vers 1 en tout cas c'est ce que je crois lire , car la main en plein sur le chiffre gène pas mal^^, si ce n'est pas ça tu n'auras qu'à me le dire par mp.
bon supposons que ce soit 1. la fonction a pour minimum 1,
donc [tex]\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]≥1×(x-2) pour tout x≥2
soit x compris entre 0 et 2 , f est au dessus de l'axe des abscisses sur cette intervalle donc g(x)≥0 et x-2≤0 donc sur [0;2] g(x)≥x-2 et comme sur [2;+∞[ :
[tex]\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]≥x-2 et g(x)≥[tex]\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]
car sur cette intervale:
g(x)=[tex]\int\limits^2_0 f{x} \, dx+\int\limits^x_2 f{x} \, dx[/tex]
on en déduit donc que g(x)≥x-2 pour tout x.
b)
[tex]\lim_{x \to \infty} x-2=+\infty[/tex] par comparaison de limite on en déduit donc:
[tex]\lim_{x \to \infty} g(x)=+\infty[/tex]
4)pour tout a et b tel que a<b sur [0;+∞][[tex]\int\limits^a_0 f{x} \, dx\leq\int\limits^b_0 f{x} \, dx[/tex] donc g est croissante
sur [-∞;0] f est croissante donc g est décroissante
car pour tout a et b tel a<b [tex]\int\limits^a_0 f{x} \, dx\geq\int\limits^b_0 f{x} \, dx[/tex]
partie B) soit F(x) une primitive de f(x), F(x)=-x[tex]e^{-x}[/tex]+x normalement il faut rédiger un peu plus pour la primitive:
alors g(x) = F(x)-F(0) donc g(x)=-x[tex]e^{-x}[/tex]+x - 0 donc g(x)=x(1-[tex]e^{-x}[/tex])
2) quand x tend vers -∞ e^(-x) tend vers +∞ donc -e^(-x) tend vers -∞ et 1- e^(-x) tend vers -∞
donc [tex]\lim_{x \to -\infty} x(1-[tex]e^{-x}[/tex])=[tex]+\infty[/tex]
112: j'ai moins écris en tex parceque c'est très long et j'ai été moins rigoureux dans les explications (donc pense à justifier proprement)
1:[tex]xe^{-x^{2}}[/tex]=[tex]\frac{x^{2}}{xe^{x^{2}}}[/tex] or posons X=x² quand x tend vers +∞ X tend vers +∞ or tu as démontré dans ton cours que
[tex]\lim_{X \to \infty} \frac{X}{e^X}=0[/tex] donc par composition de fonction
[tex]\lim_{X \to \infty} \frac{x^2}{e^{x^2}}=0[/tex] donc
[tex]\lim_{X \to \infty} \frac{\frac{x^2}{e^{x^2}}}{x}=0[/tex]
donc
[tex]\lim_{x \to \infty} f(x)=0[/tex]
2: f'(x)=[tex]e^{-x^{2}}(1-2x^2)[/tex] le signe est celui de 1-2x² car la fonction exponentielle est positif, 1-2x² est une fonction du second degré qui se factorise
-2(x-√8/4)(x+√8/4) tu fais le tableau de variation tu te rend compte que le maximum est √8/4 soit 2√2/4 donc √2/2
F(a)=[tex]\int\limits^a_0 {f(x)} \, dx[/tex]
une primitive de f(x) est par exemple P(x)=[tex]\frac{-e^{-x^2}}{2}[/tex]
f est toujours positif (à justifier)
donc F(a)=[tex]\frac{-e^{-a^2}}{2}-\frac{-e^{-a^0}}{2}[/tex]= [tex]\frac{-e^{-a^2}}{2}+\frac{1}{2}[/tex]
quand x tend vers +∞, -x² tend vers -∞ donc e^(-x^2) tend vers 0 donc
[tex]\lim_{x \to \infty} F(a)=\frac{1}{2}[/tex]
partie B
1) f est décroissante à partir de √2/2 a fortiori à partir de 1. donc
f(n)×(n+1-n)≥Un≥ f(n+1)×(n+1-n)
donc
f(n)≥Un≥ f(n+1)
2) pour tout n≥1 f(n+1)≤Un≤f(n), et f(n+2)≤Un+1≤f(n+1)≤Un donc Un+1 ≤ Un pour tout n≥1 donc la suite U est décroissante.
3) [tex]\lim_{n \to \infty} f(n)=\lim_{n \to \infty}f(n+1)=0[/tex]
d'après le théorème des gendarmes on a donc [tex]\lim_{n \to \infty} Un=0[/tex]
