serena60
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BONJOURS JAI BESOIN D'AIDE POUR CETTE EXERCICE C'EST  UN DM POUR DEMAIN MERCI D'AVANCE : 

 

On considere deux cercles (C1) et (C2) de centres respectifs A et B . Les points C et G  sont leurs deux points d'intersection .

La droite (AC) recoupe le cercle (C1) en H et le cercle (C2) en E .

La droite (BC) recoupe (C1) en D et (C2) en F .

(FIGURE DANS L'ANCIEN MANUEL SESAMATH 4 EME  EXERCICE 55 P 149 lien = http://mep-outils.sesamath.net/manuel_numerique/diapo.php?atome=1068&ordre=1)

 

a.  Demontre que les droites (HG) et (GC) sont perpendiculaires. De meme, que peux-tu dire des droites (GF) et (GC) ?

b. Demontre que les points H , G et F  sont alignes.

c. Quelle est la nature de HDF ? justifie .

d. Demontre que les points D,E , F et H  sont cocycliques , c'est-a-dire situes sur un meme cercle ( tu preciseras  un diametre de ce cercle ).

Sagot :

Amnesia
a. Démontre que les droites (HG) et (GC) sont perpendiculaires. 

- C et H sont deux points situés sur le cercle (C1). A le centre du cercle (C1) appartient au segment [CH], donc CH est un diamètre du cercle (C1). 
G un point situé sur le cercle (C1). 

Or un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre est un triangle rectangle. 
Donc CGH rectangle en G <==> (HG) et (GC) sont perpendiculaires 


De même, que peux-tu dire des droites (GF) et (GC) ? 
- Tu utilises le même raisonnement, à savoir que dans ce cas CF est un diamètre du cercle (C2), tu montres alors que le triangle CGF est rectangle en G. 




b. Démontre que les points H, G et F sont alignés. 
-Tu as montré que : 
(HG) et (GC) sont perpendiculaires 
et (GF) et (GC) sont perpendiculaires 
donc (HG) et (GF) sont parallèles. 
Et elles ont en plus un point en commun (G), donc elles sont confondues. D'où H,G et F sont alignés.  c) HCD sont sur le cercle C1. HC diametre de C1, donc HCD triangle rectangle en D, donc HD perpendiculaire à DC.  "La droite (BC) recoupe (C1) en D et (C2) en F" donc BCDF sont alignés. Donc HD qui était perpendiculaire à DC l'est également par rapport à DF.  -> HDF triangle rectangle           d) La symétrie du problème fait que par analogie avec la question c),on a immédiatement, le triangle HEF est rectangle en E.  On a donc deux triangle rectangle HEF et HDF qui ont leur hypoténuse HF en commun. Les points HEDF sont donc cocycliques, et appartiennent au cercle de diamètre HF.         VOILAAAAAAA 
warrior94
a) [HC] diamètre de C1 donc HCG triangle inscrit dans un cercle dont le coté [HC] est un diamètre. 
HCG est donc rectangle en G d'où (HG) et (GC) sont perpendiculaires 

De le meme manière (GF) et (GC) sont perpendiculaires 

b) 
(HG) et (GC) sont perpendiculaires 
(GF) et (GC) sont perpendiculaires 

donc (HG) et (GF) sont parallèles 
Elles ont G comme poins commun donc H,G et F sont alignés.

 

 

c) Le triangle HCD est inscrit dans C1 et [HC] diamètre de C1 donc HCD rectangle en D donc (HD) et (DC) (ou (DF) car D,C,F alignés) sont perpendiculaires 

Donc le triangle HDF est rectangle en D 

De la meme manière on montrerait que HEF est rectangle en E 

d) 
HDF rectangle en D donc il est inscrit dans un cercle C3 dont [HF] est un diamètre 
HEF rectangle en E donc il est inscrit dans un cercle C4 dont [HF] est un diamètre 

[HF] diamètre de C3 et C4 donc C3=C4 donc H,F,D,F sont situé sur le cercle C3 ils sont donc cocycliques

 

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