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s'il vous plaît j'ai un dm en math et je suis bloqué.
Exercice 2:
Un globe-trotter a parié qu'il pouvait parcourir 2 500 km à pied. Il parcourt 50 km le 1er jour, mais
chaque jour la fatigue s'accumule et donc sa performance diminue de 2% tous
les jours.
On notera d, la distance parcourue le n ième jour. Ainsi d₁ = 50.
1. Montrer que la distance d₂ est égale à 49; puis calculer la distance d3.
2. Donner l'expression de dn+1 en fonction de dr pour tout entier naturel n ≥ 1.
En déduire la nature de la suite (dn). Préciser sa raison et son premier terme.
3. Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1, d₁ + d₂ + d3 + ... + d = 2500(1-0,98).
4. a. Calculer d₁ + d₂+d3
+ ... + d20. Arrondir à l'unité.
b. Que représente cette somme ?
5. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre minimal de jours qui seront nécessaires au
globe-trotter pour parcourir 2 499 km. Expliquer votre démarche.
Merci d'avance ​

Sagot :

fffarid

Réponse :

Explications étape par étape :

1)

d(1) = 50

d(2) = 98% d(1) = 0,98 * 50 = 49

d(3) = 98% d(2) = 0,98 * 49 = 48,02

On remarque que :

d(3) = 0,98 d(2) = 0,98 * 0,98 d(1) = 0,98 ² d(1)

2)

d(n+1) en fonction de d(n) ?

d(n+1)  = 0,98 d(n)

On a vu que d(3)  = 0,98 ² d(1)

Supposons que d(n) = 0,98 ⁿ⁻¹ d(1)

Alors :

d(n+1) = 0,98  d(n)

          = 0,98 * 0,98 ⁿ⁻¹ d(1)

          = 0,98 ⁿ *50

On vient de prouver que

d(n+1)= 98% ⁿ* 50 pour tout n entier nat. sup ou égal à 1

Par la même , on vient de montrer que la suite d(n) est géométrique de raison 0,98 et de premier terme 50

3)

Somme des termes de cette suite décroissante :

S(n+1) = 50 + 0,98 * 50 + 0,98² * 50 + ...+ 0,98 ⁿ⁻¹ * 50 + 0,98 ⁿ * 50

       = 50 (1+0,98+0,98²+...+0,98 ⁿ )

On sait que :

1+0,98+0,98²+...+0,98 ⁿ  = (1 - 0,98 ⁿ) / (1-0,98)

Comme la raison 0,98 est comprise entre 0 et 1, alors la limite de cette suite est : d(1) /(1-0,98) = 50/0,02 = 5000/2 = 2500

Par le calcul (feuille excel ) , on  a:

S(500) = 2499,89744

4)

a)

d(1)+d(2)+d(3) = 147,02

arrondi à l'unité : 147

b)

Cette somme représente la distance parcourue en 3 jours

5)

Il faut parcourir au minimum 388 jours

(1 - 0,98 ⁿ) / (1-0,98) = 2 499/50 = 49,98

(1 - 0,98 ⁿ) = 49,98 * (1-0,98)  = 0,9996

1 - 0,98 ⁿ = 0,9996

0,98 ⁿ  = 1-0,9996 = 0,0004

log (0,98 ⁿ) = log(0,0004)

(n) log (0,98) = log(0,0004)

n = log(0,0004)/log (0,98)

n = log(0,0004)/log (0,98)

n = -3,397940009 / -0,008773924  

n = 387,2

n = 388 jours

ngege83

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) d1 = 50 km
diminution de 2% soit CM = 1 - 2/100 = 0,98
  d2 = 50 X 0,98 = 49 km
   d3 = 49 X 0,98 = 48 km

2) dn+1 = 0;/,98dn
Suite géométrique de 1er terme d1 = 50 et de raison q = 0,98

3) Sn = 1er terme ( 1 - q^nbe de termes) /(1 - q)
   = 50(1-0,98^n)0,02
  = 2500(1 - 0,98^n)

4) a) S20 = 2500(1-0,98^20)
           = 831
  b) Distance totale parcourue apres le 20 eme jour = 831 km

5) S387 = 2798,9 et S = 388 = 2499
388 jours seront nécessaires au globe-trotter pour parcourir 2 499 km.

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