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Un centre nautique possède l'enseigne lumineuse ci-dessous en forme de triangle rectangle (le triangle ABC est rectangle en A).
On donne AB=15 et AC = 5.
On place le point M sur le segment [AB].
La parallèle à la droite (AC) passant par M coupe le segment [BC] en N et la parallèle à la droite (AB) passant par N coupe le segment [AC] en P.
L'objectif de cet exercice est de déterminer la valeur de l'aire maximale de la partie colorée.
1) Démontrer que le quadrilatère AMNP est un rectangle.
2) On pose BM = x.
a) À quel intervalle appartient x ?
b) Exprimer AM en fonction de x.
c) Montrer que MN= x/3
3) Soit f(x) l'aire du rectangle AMNP.
a) Montrer que f(x) = 5x-x2/Déterminer l'aire du rectangle AMNP lorsque BM = 4.
c) Calculerf(11). En donner une interprétation géométrique.
d) Déterminer les antécédents de 0 par f.
-
e) Montrer que f(x) - 18 = - ½-½(x − 6)(x — 9).
3
f) En déduire, si elle(s) existe(nt), la (ou les) valeur(s) de BM pour que l'aire du
rectangle soit égale à 18.
4) a) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous, à l'aide de votre
calculatrice. Arrondir les résultats au dixième.
X
0
1
4
6
8
9
11
12
14
15
f(x)
