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On remarque tout d'abord que :
[tex]\dfrac{x^7}{7} + \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{23x}{35} = \dfrac{5x^7+7x^5+23x}{35}[/tex]
Pour que ce nombre appartienne à l'ensemble des entiers relatifs, il faut que le numérateur soit un multiple de 35. Comme 35 = 7 x 5 et que 5 et 7 sont premiers, il faut vérifier la divisibilité du numérateur par 5 et 7, pour tout entier relatif [tex]x[/tex].
Divisibilité par 5 :
[tex]5x^7+7x^5+23x \equiv 2x^5 + 3x \pmod 5[/tex]
On teste les valeurs possibles de [tex]x[/tex] modulo 5 (0 à 4).
Dans chaque cas, [tex]2x^5 + 3x \equiv 0 \pmod 5[/tex], donc [tex]5x^7+7x^5+23x[/tex] est divisible par 5 pour tout entier relatif [tex]x[/tex].
Divisibilité par 7 :
[tex]5x^7+7x^5+23x \equiv 5x^7 + 2x \pmod 7[/tex]
Même méthode avec les entiers de 0 à 6 (modulo 7) et on s'aperçoit que [tex]5x^7 + 2x \equiv 0 \pmod 7[/tex], donc que le numérateur est divisible par 7 pour tout entier relatif [tex]x[/tex].
Conclusion : numérateur divisible par 7 et 5 donc par 35 (car 7 et 5 sont premiers entre eux) et le nombre appartient bien à l'ensemble des entiers relatifs pour tout entier relatif [tex]x[/tex].
