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26 Le plan P est muni d'un repère orthonorme direct (0,u,v). On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 et i. On considère l'application f de P\{A} dans P qui, à tout point M de P\{A} d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z+1 z-2i
1. a. On désigne par C', l'image de C par l'application
f. Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?
b. Montrer que le point C admet un unique antécédent par l'application f que l'on notera C". Quelle est la nature du triangle BCC" ?​

Sagot :

Réponse :

Le plan P est muni d'un repère orthonorme direct (0,u,v). On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives 2i, -1 et i. On considère l'application f de P\{A} dans P qui, à tout point M de P\{A} d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que z' = z+1 z-2i

1. a. On désigne par C', l'image de C par l'application

      zc' = (zc + 1)/(zc - 2i)

           = (i + 1)/(i - 2i)

           = (i + 1)/-i

           = (i + 1) x i/-i x i

           = i² + i

donc zc' = - 1 + i  

f. Quelle est la nature du quadrilatère ACBC' ?

vec(AC)   ⇔ z(vec(AC) = zC - zA = i - 2i = - i

vec(C'B)   ⇔ z(vec(C'B) = zB - zC' = - 1 - (- 1 + i) = - 1 + 1 - i = - i

donc  z(vec(AC)) = z(vec(C'B))  alors  ACBC' est un parallélogramme

b. Montrer que le point C admet un unique antécédent par l'application f que l'on notera C". Quelle est la nature du triangle BCC" ?​

   zc = (zc" + 1)/(zc"-2i)

    i = (zc" + 1)/(zc"-2i)       zc" ≠ 2i

 i(zc" - 2i) = zc" + 1

 izc" + 2 = zc" + 1

 izc" - zc" = - 1

 zc"(- 1 + i) = - 1

 zc" = - 1/(- 1 + i)

 zc" = - 1 x (-1 - i)/(-1+i) = (1 + i)/2

Donc  zc" = 1/2 +  (1/2)i

maintenant pour savoir quelle est la nature du triangle BCC"

si  zCB/zCC" est un imaginaire pure alors  le triangle est rectangle en C

   (zB - zC)/(zC" - zC) = (- 1 - i)/(1/2 + i/2 - i)

                                  = (- 1 - i)/(1/2 - i/2)

                                  = (- 1 - i)(1/2+i/2)/1/2

                                  = 2(- 1/2 - i/2 - i/2 + 1/2)

                                  = 2(-i)

                                  = - 2i     imaginaire pur  donc le triangle BCC" est rectangle en C    

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