Réponse :
Explications étape par étape :
1)
M est de coord : (x ; 4-x²)
N est de coord : ( -x ; 4-x²)
Q : (x ; 0)
P : ( -x ; 0)
MQ est de longueur 4-x²
MN est de longueur 2x
NP est de longueur 4-x²
PQ est de longueur 2x
Donc : p(x) = 2 ( 2x + 4-x²)
= 2 ( -x² + 2x + 4 )
p(x) = -2x² + 4x + 8 , pour tout x ∈[0 ; 2]
2) forme canonique de p(x) ?
Tout polynôme du second degré peut se mettre sous la forme :
f ( x ) = a ( x − α ) ² + β où α = − b /2 a et β = f ( α )
Ici : p(x) = -2x² + 4x + 8
a = -2
b = 4
c = 8
Donc :
α = - b/2a = - 4/2.(-2) = 1
β = p(α) = -2 . 1² + 4 . 1 + 8 = -2+4+8 = 10
Forme canonique :
p(x) = -2 (x -1)² + 10
Vérification :
p(x) = -2 ( x² -2x +1) +10 =
-2 x² +4x -2 +10 =
-2 x² +4x +8 ok !
3)
M ? / p(x) max
Sommet de la parabole en (1,10) car
p(1) = -2 (0)² +10
Coeff -2 négatif : parabole tournée vers le bas
donc le sommet est un maximum
MAXIMUM pour le point M ( 1; 10)
périmètre maxi :
p(1) = 10
