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Réponse :
Explications étape par étape :
E1 : x+y=2
E2 : x⁵+y⁵=82
E1⇔ y = 2-x
Posons x = 1+a
Il s'agit maintenant de trouver a.
E1 : y = 2-(1+a) = 1-a
E2 : x⁵+y⁵=82 ⇔ (1+a)⁵+(1-a)⁵=82
Ca sent bon les simplifications !
Développons (1+a)⁵ par la formule du binôme de Newton :
(1+a)⁵ = 1⁵ + 5 x 1⁴x a + 10x1³xa² +10 x 1² x a³ + 5x1xa⁴ + a⁵
= 1 + 5a +10 a² +10 a³ +5 a⁴ +a⁵
Pour développer (1-a)⁵ , c'est pareil sauf qu'il y a alternance des signes
(1-a)⁵ = 1⁵ - 5 x 1⁴x a + 10x1³xa² -10 x 1² x a³ + 5x1xa⁴ - a⁵
= 1 - 5a +10 a² -10 a³ +5 a⁴ -a⁵
Maintenant :
(1+a)⁵+(1-a)⁵ = 1 + 5a +10 a² +10 a³ +5 a⁴ +a⁵ +
1 - 5a +10 a² -10 a³ +5 a⁴ -a⁵
= 2 +20 a² +10 a⁴
= 2(1+10 a² +5 a⁴)
Finalement l'équation E2 :
(1+a)⁵+(1-a)⁵=82 équivaut à 2(1+10 a² +5 a⁴)=82
⇔ 5 a⁴ +10 a² + 1 = 41
⇔ 5 a⁴ +10 a² -40 = 0
Je serais tenté de poser b = a², ce qui donne :
5 b² +10 b -40 = 0
Δ = 10² -4 x 5 x (-40) = 100 +800 = 900
√Δ = 30
b₁ = (-10 -√Δ ) 2 x 5 = -40 / 10 = -4
b₂ = (-10 +√Δ ) 2 x 5 = 20/10 = 2
b₁ n'est pas une solution. Pourquoi ? car, par définition, b étant un carré, b est positif
Donc :
b = 2
a = √2
x = 1+ √2
y = 1- √2
