Réponse :
Explications étape par étape :
1)
A : (2x+3)/(x+1) ≤ (1+5x)/(2x+2) ⇔
(2x+3)/(x+1) ≤ (1+5x)/2(x+1)
On a au dénominateur x+1 des 2 côtés.
On va donc multiplier par x+1 pour s'en débarasser. Mais attention !
Si x+1 est négatif, l'inéquation s'inverse.
1.a) x+1 < 0, soit x< -1
A: 2x+3 ≥ (1+5x)/2 ⇔
4x+6 ≥ 1+5x ⇔
6 ≥ 1+x ⇔
5 ≥ x ⇔
x ≤ 5
Finalement : x< -1 et x ≤ 5 ⇒ x< -1
1.b) x+1 > 0, soit x > -1
A : (2x+3)/(x+1) ≤ (1+5x)/2(x+1) ⇔
(2x+3) ≤ (1+5x)/2⇔
4x+6 ≤ 1+5x ⇔
6 ≤ 1+x ⇔
5 ≤ x ⇔
x ≥ 5
Finalement : x > -1 et x ≥ 5 ⇒ x ≥ 5
Conclusion :
A est vérifié pour x< -1 ou x ≥ 5
2)
B: 1 ≥ (2x+10)/(3-x)
On va se débarasser du déno en multipliant par 3-x. Mais attention, multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inéquation.
2.a) 3-x > 0 soit x < 3
B: 1 ≥ (2x+10)/(3-x) ⇔
3-x ≥ 2x+10 ⇔
3 ≥ 3x+10 ⇔
-7 ≥ 3x ⇔
-7/3 ≥ x ⇔
x ≤ -7/3
Résumons : x < 3 et x ≤ -7/3 finalement x ≤ -7/3
2.b) 3-x < 0 soit x >3
B: 1 ≥ (2x+10)/(3-x) ⇔
3-x ≤ 2x+10 ⇔
3 ≤ 3x+10 ⇔
-7 ≤ 3x ⇔
-7/3 ≤ x ⇔
x ≥ -7/3
Résumons : x >3 et x ≥ -7/3 finalement x >3
Conclusion :
B est vérifié pour x ≤ -7/3 ou x >3
