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Résoudre les inéquations suivantes
a) (10x−60)(20x+50)⩾0
b) (15x+9)(−7 x+14)⩽0
c) −2x+6⩽0
4 x+9 d) x2<15
e) (3x−6)2<(x+2)2

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

a) (10x−60)(20x+50)⩾0

ce produit est positif si les 2 facteurs sont de même signe : + + ou - -

10x -60 = 0 ⇔ 10x = 60 ⇔ x = 6

20x+50 = 0 ⇔ 20x = -50 ⇔ x = -50/20 ⇔ x = -5/2

Tableau des signes :

x                        |           -5/2                   6

10x-60              |        -       |         -           0      +

20x +50            |        -      0         +           |      +

produit              |        +     0         -            0      +

(10x−60)(20x+50)⩾0   ⇔ x ∈ ] -∞ ; -5/2 ]  ∧ [6 ; +∞ [

b) (15x+9)(−7 x+14)⩽0

même raisonnement

15x+9 = 0 ⇔ x = - 9/15 ⇔ x = - 3/5

-7x+14 = 0 ⇔ -x = - 14/7 ⇔ -x = 2 ⇔ x = 2

x                 |               -3/5                  2

15x +9        |        -         0          +        |     +

-7x +14        |      +          |           +        0    -

produit       |       -          0          +        0   -

(15x+9)(−7 x+14)⩽0 ⇔ x ∈ ] -∞ ; -3/5 ] ∧ [ 2 ;  +∞ [

c) −2x+6⩽0          ajoutons 2x des 2 côtés

           6 ⩽ 2 x        divisons par 2 ..............

            3 ⩽  x  ou

           x  ⩾ 3

4 x+9   ? je ne comprends pas

d) x2<15  ? je ne comprends pas ou alors x² <15

    x² <15 ⇔ |x| < √15

     ⇔ x < √15    ou x   > - √15

     ⇔ x ∈ ] - √15 ; √15 [

e) (3x−6)2<(x+2)2

   si c'est : (3x−6)²<(x+2)² , alors :

(3x−6)² < (x+2)² on développe

9x² -36x +36 <  x² + 4x +4 on fait tout passer à gauche

8 x² - 40 x + 32 < 0

Factorisons le trinôme :

8 x² - 40 x + 32 = 8 ( x² - 5x +4)

on peut chercher les racines

x² - 5x +4 = 0

delta Δ= 25 - 16 = 9 . donc : √Δ = 3

x1 = ( - (-5) - 3 ) / 2 = 1

x2 = ( - (-5) + 3 ) /2 = 4

donc : x² - 5x +4  = (x - x1) (x-x2)

                            = (x- 1) (x -4)

Finalement :

8 x² - 40 x + 32 < 0 ⇔ 8(x- 1) (x -4) < 0

x         |             1                4

x-1      |      -       0     +        |      +

x-4     |       -       |      -        0     +

prod  |     +        0     -        0     +

Finalement :

8 x² - 40 x + 32 < 0 ⇔  x ∈ ] 1 ; 4 [

 

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