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On se place dans un repère orthonormé ( ); ,
O i j
 
et on considère les points I(3;0), J(0;2), B(4;0), et D(0;4).
1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure. Vous prendrez 2 cm pour 1 unité.
2) a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites (DI) et (BJ).
b) Démontrer qu’elles ne sont pas parallèles.
3) Déterminer alors les coordonnées de leur point d’intersection que l’on nommera C.
4) Les points M, N et P sont les milieux respectifs des segments [OC], [BD] et [IJ].
Démontrer que les points M, N et P sont alignés

Sagot :

Réponse:

Bonjour, les réponses sont si join

Explications étape par étape:

(sur le document)

View image superpunky88
fffarid

Réponse :

Explications étape par étape :

1) figure à faire, c'est facile

I est sur l'axe horizontal , comme B.

J est sur l'axe vertical, comme D

2)

eq cart. de (DI) :

  y= ax+b  , déterminer a,b

D appartient à la droite

  4= a*0 + b  donc b=4

  l'équation devient y = ax+4

I appartient à la droite

0 = 3a + 4 donc 3a = -4 donc a = -4/3

 équation de (DI) :

  y = -4/3 x + 4

 vérif : D ∈ (DI) : 4= 4 ok

           I ∈ (DI) : 0= -4/3 * 3 +4 = -4+4 = 0 ok

eq cart. de (BJ)

  y = ax+b, a ? b?

B ∈ (BJ) ⇒ 0= 4a+b ⇒ b = -4a

J ∈ (BJ) ⇒ 2 = 0a +b ⇒ b = 2 ⇒ 2= -4a ⇒ a = -2/4 ⇒ a = -1/2 ⇒ b = -4 *-1/2 ⇒ b = 2

équation de (BJ) :

y = - x/2 +2

vérif :

B ∈ (BJ) :  0=-4/2 + 2 = 0 ok

J ∈ (BJ) : 2= 2 ok

b) (DI) // (BJ) ?

Si ces 2 droites étaient // , leur coeff directeur seraient identiques. Or -4/3 et -1/2 sont différents. Les 2 droites ne sont pas //

3) C = (DI) ∩ (BJ) ; C ?

il faut trouver (x;y) qui vérifient les 2 éq.

y = -4/3 x + 4

y = - x/2 +2

c'est facile , vu qu'on a 2 expressions de y :

-4/3 x +4 = -x/2 +2  multiplions par 3 des 2 cotés

-4 x + 12 = -3x/2 + 6 multiplions par 2 des 2 cotés

-8x +24 = -3x + 12  ok, c'est mieux.  otons 24 des 2 cotés

-8x = -3x +12-24 = -3x -12 changeons les signes

8x = 3x+12 otons 3x des 2 cotés

5x = 12 finalement

x= 12/5 = 2,4

reste à trouver y

y = - (12/5)/2 +2  = -12/10+2 = -1,2 +2 = 0,8

donc C (2,4 ; 0,8 )

vérif :

y = -4/3 x + 4 ⇒ 0,8 = -4/3 * 2,4 +4

⇒ 0,8 = -4 *0,8 + 4 ⇒ 0,8 = 4*(-0,8+1) = 4*(0,2) = 0,8  ok

puis :

y = - x/2 +2 ⇒ 0,8 = -1,2+2 = 0,8 ok

4)

M (x ; y ) = mil (OC)

   x = (0+2,4)/2 = 1,2

   y = (0+0,8) /2 = 0,4

M (1,2 ; 0,4 )

N ( x; y) = mil (BD)

   x = (4+0)/2 = 2

   y = (0+4)/2= 2

N(2;2)

P (x;y) = mil (IJ)

   x = (3+0)/2 = 1,5

   y = (0+2)/2 = 1

P (1,5;1)

MNP alignés ?

Montrons que les vecteurs MN et MP sont colinéaires

vect MN (2-1,2 ; 2-0,4) = (0,8 ; 1,6)

vect MP (1,5-1,2 ; 1-0,4) = (0,3 ; 0,6)

les vect son colin. si 0,8/0,3 = 1,6/0,6 c'est le cas.

Les points sonts donc alignés

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