### a) Placement des points A, B, C et D
Dans un repère orthogonal d'origine \(O\) et d'unité le cm, nous plaçons les points suivants :
- \( A (1, -1) \)
- \( B (2, 3) \)
- \( C (-2, 2) \)
- \( D (4, 2) \)
b) Point E image de C par la translation qui transforme A en D
Pour trouver le point \(E\), image de \(C\) par la translation qui transforme \(A\) en \(D\), nous devons déterminer le vecteur de translation \(\overrightarrow{AD}\).
Les coordonnées de \(A\) sont \((1, -1)\) et celles de \(D\) sont \((4, 2)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) est donné par :
\[ \overrightarrow{AD} = (4 - 1, 2 - (-1)) = (3, 3) \]
Appliquons ce vecteur de translation à \(C (-2, 2)\) :
\[ E = C + \overrightarrow{AD} = (-2 + 3, 2 + 3) = (1, 5) \]
### c) Point F image de A par la translation qui transforme D en B
Pour trouver le point \(F\), image de \(A\) par la translation qui transforme \(D\) en \(B\), nous devons déterminer le vecteur de translation \(\overrightarrow{DB}\).
Les coordonnées de \(D\) sont \((4, 2)\) et celles de \(B\) sont \((2, 3)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{DB}\) est donné par :
\[ \overrightarrow{DB} = (2 - 4, 3 - 2) = (-2, 1) \]
Appliquons ce vecteur de translation à \(A (1, -1)\) :
\[ F = A + \overrightarrow{DB} = (1 - 2, -1 + 1) = (-1, 0) \]
### d) Comparaison des segments [AD] et [FB]
Pour vérifier si les segments \([AD]\) et \([FB]\) sont parallèles et de même longueur, nous devons vérifier les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{FB}\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) sont \((3, 3)\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{FB}\) sont :
\[ \overrightarrow{FB} = (2 - (-1), 3 - 0) = (3, 3) \]
Nous voyons que :
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{FB} = (3, 3) \]
Les segments \([AD]\) et \([FB]\) sont donc parallèles et de même longueur car ils ont le même vecteur directeur.
### Résumé des coordonnées
- Les coordonnées de \(E\) sont \((1, 5)\).
- Les coordonnées de \(F\) sont \((-1, 0)\).
Les segments \([AD]\) et \([FB]\) sont parallèles et de même longueur.
