Réponse :
Bonjour
1)
Sur IR, g(x) = 2 eˣ - 1
L'équation de de la tangente au point d'abscisse a est de la forme
y= g'(a) (x - a) + g(a)
g est dérivable sur IR.
g'(x) = 2 eˣ
L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est
y = g'(0) (x - 0) + g(0)
g'(0) = 2 e⁰ = 2 car e⁰ = 1
g(0) = 2 e⁰ - 1 = 2 - 1 = 1
donc y = 2 (x - 0) + 1 = 2x + 1
La tangente Δ a pour équation y = 2x + 1
2)
sur IR, h(x) = 2 eˣ - 2x - 2
a) h est dérivable sur IR
h'(x) = 2 eˣ - 2 = 2( eˣ - 1)
h' s'annule si eˣ - 1 = 0 --> eˣ = 1 --> lneˣ = ln 1 car ln est croissante
--> x = 0
tableau de signe de h'
x -∞ 0 +∞
2( eˣ - 1) - ⊕ +
h'(x) - ⊕ +
Tableau de variation de h
x -∞ 0 +∞
2( eˣ - 1) - ⊕ +
h'(x) - ⊕ +
h(x) décroissante croissante
h(0) = 2 e⁰ - 2(0) - 2 = 0
c)
comme h(x) admet un minimum 0 en x = 0, la fonction h(x) est positive
donc h(x) ≥ 0
on a donc 2 eˣ - 2x - 2 ≥ 0
donc 2 eˣ ≥ 2x + 2
donc 2 eˣ - 1 ≥ 2x + 2 - 1
donc 2 eˣ - 1 ≥ 2x + 1
d) On en déduit que d'après la question c) que la courbe Cg est toujours au dessus de la tangente Δ