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Type BAC Fonctions trigonométriques 2023 24 On considère les suites (xn) et (yn) définies pour tout entier naturel n non nul par: xn= =ft" costat et_yn= t" sin tdt. 1. a. Montrer que la suite (x,,) est à termes positifs. b. Étudier les variations de la suite (x). c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (x,,)? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x,, < n+1 3. b. En déduire la limite de la suite (xn). a. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout en- tier naturel n non nul, xn+1=-(n+1)yn + sin(1). b. En déduire que lim yn=0. 111+00 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn+1 = (n+1)xn-cos(1). Déterminer lim nx, et lim nyn- 8118 →+00​

Sagot :

Réponse :

1. a. Pour montrer que la suite $(x_n)$ est à termes positifs, nous devons montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_n \geq 0$. Comme $x_n = \int_0^1 t^n \cos(t) dt$, et comme le cosinus est toujours compris entre -1 et 1, et $t^n$ est toujours positif pour $t$ dans [0,1], alors $x_n$ est bien positif.

  b. Pour étudier les variations de la suite $(x_n)$, nous devons déterminer sa dérivée et étudier son signe. Cependant, comme $x_n$ est défini par une intégrale, cela peut être compliqué sans connaître une forme explicite de $x_n$.

  c. Si nous pouvons montrer que la suite $(x_n)$ est monotone et bornée, alors nous pouvons conclure qu'elle est convergente.

2. a. Pour démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_n < n+1$, nous devons utiliser l'inégalité de l'intégrale. Comme $x_n = \int_0^1 t^n \cos(t) dt$, et comme le cosinus est toujours compris entre -1 et 1, alors $|x_n| \leq \int_0^1 t^n dt = \frac{1}{n+1}$, donc $x_n < n+1$.

  b. Si nous avons montré que $x_n < n+1$ pour tout $n$ naturel non nul, alors nous pouvons conclure que la suite $(x_n)$ est bornée. Si elle est également monotone, alors elle est convergente, et sa limite est le plus petit nombre qui est supérieur à tous les termes de la suite.

3. a. Pour démontrer que $x_{n+1} = -(n+1)y_n + \sin(1)$, nous devons utiliser une intégration par parties. En utilisant la formule d'intégration par parties $\int u dv = uv - \int v du$, avec $u = t^{n+1}$ et $dv = \cos(t) dt$, nous obtenons $x_{n+1} = [t^{n+1} \sin(t)]_0^1 - \int_0^1 (n+1) t^n \sin(t) dt = \sin(1) - (n+1)y_n$.

  b. Si nous avons montré que $x_{n+1} = -(n+1)y_n + \sin(1)$, alors nous pouvons conclure que $y_n = \frac{x_{n+1} - \sin(1)}{-(n+1)}$. Comme nous savons que $x_n$ est convergent, alors $y_n$ est également convergent, et sa limite est 0.

4. Si nous admettons que $y_{n+1} = (n+1)x_n - \cos(1)$, alors nous pouvons déterminer les limites de $n x_n$ et $n y_n$ en utilisant les règles de calcul des limites. Cependant, sans connaître la limite de $x_n$, nous ne pouvons pas déterminer ces limites.

Explications étape par étape :

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