Réponse :
Bonsoir
a)
La droite (d) a pour équation y = mx +p
Le point A a pour abscisse x = 0
son ordonnée est : y = m(0) + p = p
Les coordonnées du point A sont (0;p)
Le point B a pour abscisse x = 1
son ordonnée est : y = m(1) + p = m + p
Les coordonnées du point B sont (1; m + p)
b)
La droite (d') a pour équation y = ( -1/m)x +p
Le point C a pour abscisse x = - m
son ordonnée est : y = (-1/m)(-m) + p = 1 + p
Les coordonnées du point C sont (m; 1 + p)
c)
pour savoir si le triangle ABC est rectangle, on doit tout d'abord
calculer les distances AB, BC et AC
AB = √[(Xb - Xa)² - (Yb - Ya)² ]
A(O;p) B(1; m + p)
AB = √[(1 - 0)² - (m + p - p)² ]
AB = √[(1 )² - (m)² ]
AB = √[1 - m²]
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AC = √[(Xc - Xa)² - (Yc - Ya)² ]
A(O;p) C (m; 1 + p)
AC = √[(m - 0)² - (1 + p - p)² ]
AC = √[m² - (1 )² ]
AC = √[m² - 1 ]
-----------------------------------------------------------------
BC = √[(Xc - Xb)² - (Yc - Yb)² ]
B(1; m + p) C (m; 1 + p)
BC = √[(m - 1)² - (1 + p - ( m + p))² ]
BC = √[(m - 1)² - (1 + p - m - p)² ]
BC = √[(m - 1)² - (1 - m)²]
--------------------------------------------------------------------------------
Dans le triangle ABC, d'après la réciproque de Pythagore, on a
AB² + AC² = (√[1 - m²] )² + (√[m² - 1 ] )²
AB² + AC² = (1 - m²) + (m² - 1)
AB² + AC² = 0
et
BC² =( √[(m - 1)² - ( 1 - m)²])²
BC² =(m - 1)² - ( 1 - m)²
BC² =(m² - 2m + 1) - ( 1 - 2m + m²)
BC² =m² - 2m + 1 - 1 + 2m - m²
BC² = 0
Comme AB² + AC² = BC² alors le triangle ABC est rectangle en A
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autre méthode
Le coefficient directeur de la droite (d) est m
le coefficient directeur de la droite (d') est ( - 1/m)
Le produit des coefficients des droites (d) et (d') est
m × (-1/m) = - 1
donc les droites (d) et (d') sont toujours perpendiculaires.
Comme les points A et B appartiennent à la droite (d) et C
appartient à la droite (d') alors le triangle ABC est bien rectangle en
A.