Bonsoir,
On considère l'équation [tex](E)[/tex] : [tex]15x^{3}+67x^{2} +94x+40=0[/tex]
1) La valeur de [tex]x_{0}[/tex], c'est-à-dire [tex]-2[/tex], est une solution évidente de l'équation, aussi appelée racine.
En effet, on a :
[tex]15\times x _{ 0 } ^{3}+67\times x_{0}^{2}+94\times x_{0}+40\\[/tex]
soit :
[tex]15\times (-2)^{3}+67\times (-2)^{2}+94\times (-2)+40\\\\=15\times (-8)+67\times 4-188+40\\=-120+268-188+40\\=0[/tex]
[tex]x_{0}[/tex] est bien une racine de l'équation [tex](E)[/tex].
2) On a :
[tex]15x^{3}+67x^{2} +94x+40=(x+2)(ax^{2} +bx+c)[/tex]
On développe la partie factorisée, ce qui donne :
[tex](x+2)(ax^{2} +bx+c)\\\\=ax^{3}+bx^{2} +cx+2ax^{2} +2bx+2c[/tex]
Or, le seul terme avec du cube correspond à [tex]ax^{3}[/tex].
On en déduit que [tex]a=15[/tex].
On continue alors à écrire l'expression développée en remplaçant [tex]a[/tex] par [tex]15[/tex].
[tex]ax^{3}+bx^{2} +cx+2ax^{2} +2bx+2c\\\\=15x^{3}+bx^{2}+cx+2\times 15x^{2}+2bx+2c\\\\=15x^{3}+30x^{2}+bx^2+2bx+cx+2c\\[/tex]
Ainsi, on constate que les termes en [tex]x^{2}[/tex] correspondent à :
[tex]30x^{2} +bx^{2}[/tex]
Or, on sait que on souhaite [tex]67x^{2}[/tex].
On en déduit que [tex]b=37[/tex].
On continue alors à écrire l'expression obtenue en remplaçant [tex]b[/tex] par [tex]37[/tex].
[tex]15x^{3}+30x^{2}+bx^2+2bx+cx+2c\\\\=15x^{3}+30x^{2} +37\times x^{2} +2\times 37x +cx+2c \\\\=15x^{3}+67x^{2} +74x+cx+2c[/tex]
Enfin, on constate que les termes en [tex]x[/tex] correspondent à :
[tex]74x+cx[/tex]
Or, on sait que on souhaite [tex]94x[/tex].
On en déduit que [tex]c=20[/tex].
Cela vérifie également [tex]2c=2\times 20=40[/tex] (ce qui était attendu).
3) Il faut alors résoudre :
[tex](x+2)(15x^2+37x+20)=0[/tex]
⇒ Or, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
On a alors :
[tex]x_{0}=-2[/tex] ou [tex]15x^{2} +37x+40=0[/tex]
On détermine alors les solutions de ce polynôme du second degré en calculant son discriminant :
[tex]\Delta=37^{2}-4\times 15\times 20=169[/tex]
Comme [tex]\Delta > 0[/tex], ce polynôme admet deux racines distinctes :
[tex]x_{1}=\dfrac{-37-\sqrt{169}}{30}=\dfrac{-37-13}{30}=\dfrac{-50}{30}=-\dfrac{5}{3} \\\\\\x_{2}=\dfrac{-37+\sqrt{169}}{30}=\dfrac{-37+13}{30}=\dfrac{-24}{30}=-\dfrac{4}{5}[/tex]
Ainsi, on a alors :
[tex]x_{0}=-2[/tex] ou [tex]x_{1}=-\dfrac{5}{3}[/tex] ou [tex]x_{2}=-\dfrac{4}{5}[/tex]
Donc l'ensemble des solutions de l'équation [tex](E)[/tex] est :
[tex]\mathcal{S}=\{-2;-\dfrac{5}{3} ;-\dfrac{4}{5}\}[/tex]
En espérant t'avoir aidé.
