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Bonjour,
1 ) Soit I le milieu de [AB]
On a I(0 ; 1/2)
D'autre part AB(2 ; -5)
La médiatrice de [AB] est la droite qui passe par I et dont AB est vecteur normal.
L'équation de cette médiatrice est 2x - 5y + = 2xI - 5yI = 2 × 0 - 5 × ½ = -5/2
On en déduit que 4x - 10y + 5 = 0 est bien une équation de la médiatrice de [AB].
2 ) Soit J le milieu de [AC}. On a donc J(3/2 ; 4)
AC(5 ; 2) est un vecteur normal de la médiatrice de [AC]
L'équation de la médiatrice de [AC] s'écrit donc 5x + 2y = 5xJ + 2yJ = 15/2 + 8 = 31/2 ou encore 10x + 4y - 31 = 0
3 ) Le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le point d'intersection des deux médiatrices précédentes. On note ce point G(xG ; yG)
Ses coordonnées vérifient :
4 xG - 10 yG + 5 = 0 et 10 xG + 4 yG - 31 = 0
⇔ 2 (4 xG - 10 yG + 5) + 5 (10 xG + 4 yG - 31) = 0 et 5 (4 xG - 10 yG + 5) - 2 (10 xG + 4 yG - 31) = 0
⇔ 8 xG + 50 xG + 10 - 155 = 0 et -50 yG - 8 yG + 25 + 62 = 0
⇔ xG =145/58 = 5/2 et yG = 87/58 = 3/2
⇔ G(5/2 ; 3/2)
