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106 ABC est un triangle
rectangle en A tel que
AB= 10 et AC = 5.
C₁
I
1
H
A
U
D et E sont des points du
segment [AB], distincts
de B et A, tels que BD = DE.
H et F sont deux points du côté [BC] et I est un point
G
LL
L
E D
1. a) Justifier que 0 < x < 5.
b) Exprimer DF puis EH en fonction de x.
c) Exprimer A, puis A2 en fonction de x.
2. Résoudre le problème posé.
B
du côté [AC] tels que EDFG et AEHI sont deux rec-
tangles comme indiqués sur la figure.
On se propose de déterminer les positions du point D
pour lesquelles l'aire A, du rectangle EDFG est stricte-
ment supérieure à l'aire A₂ du rectangle AEHI.
On notex la distance BD.

106 ABC Est Un Triangle Rectangle En A Tel Que AB 10 Et AC 5 C I 1 H A U D Et E Sont Des Points Du Segment AB Distincts De B Et A Tels Que BD DE H Et F Sont Deu class=

Sagot :

Mozi

Bonjour,

1.a ) On a EB = ED + BD = 2 BD avec BD > 0 soit x > 0 (puisque  B ≠ D)

Or EB ⊂ AB soit EB < AB (strictement inférieur puisque E ≠ A)

EB < AB ⇔ 2 BD < AB ⇔ BD < AB/10 ⇔ BD < 5 ⇔ x < 5

On en conclut que 0 < x < 5

b ) D'après le th. de Thalès, on a BD/AB = DF/AC

soit DF = AC.BD/AB = 5x/10 = x/2

D'autre part. EH/AC = EB/AB (Th. de Thalès)

⇔ EH = AC.EB/AB = EB/2 = BD = x

c) A₁(x) = ED.DF = x²/2

A₂(x) = EH . AE = EH (AB - EB) = x (10 - 2x) = 2x (5 - x)

2 ) A₁(x) > A₂(x) ⇔ x²/2 > 2x (5 - x)

⇔ x/2 > 2 (5 - x) (puisque x > 0)

⇔ x > 4 (5 - x)

⇔ x > 20 - 4x

⇔ 5x > 20

⇔ x > 4

On en conclut que A₁ > A₂ si et seulement si BD > 4

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