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Bonsoir, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plaît ? Merci d'avance :)
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, on note: A(a; b) = a + b et G(a; b)=√ab.
A(a; b) est appelée moyenne arithmétique de a et b.
G(a; b) est appelée moyenne géométrique de a et b.
1) Calculer et comparer A(9; 4) et G(9 ; 4).
2) Calculer et comparer A(2; 32) et G(2; 32).
3) Conjecturer une inégalité entre A(a; b) et G(a; b).
4) Pour tous réels a et b strictement positifs, développer (√a-√b) ².
5) En déduire que, pour tous réels a et b strictement positifs, A(a; b) ⩾ G(a; b).​

Sagot :

Mozi

Bonjour,

A(a ; b) = (a + b) / 2 ; G(a ; b) = √(ab)

1 ) A(9 ; 4) = (9 + 4) / 2 = 6,5 ; G(9 ; 4) = √(9 × 4) = 6

A(9 ; 4) > G(9 ; 4)

2 ) A(2 ; 32) = (2 + 32) / 2 = 17 ; G(2 ; 32) = √64 = 8

A(2 ; 32) > G(2 ; 32)

3 ) A(a ; b) ≥ G(a ; b)

4 ) (√a-√b)² = (√a)² - 2 √a × √b + (√b)² = a + b - 2 √(ab)

Soient a et b strictement positifs.

On a (√a-√b)² ≥ 0

Ce qui équivaut à a + b - 2 √(ab) ≥ 0

Soit a + b ≥ 2 √(ab)

ou encore (a + b) /2 ≥ √(ab)

On en déduit que A(a ; b) ≥ G(a ; b)

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