Bonjour,
1. Soit n un entier naturel
On a vₙ₊₁ = uₙ₊₁ + 8 = ½ uₙ - 4 + 8 = ½ uₙ + 4 = ½ (uₙ + 8) = ½ vₙ
On en déduit que (vₙ) est une suite géométrique dont le premier terme est v₀ = -3 + 8 = 5 et la raison q = ½
2. De la question précédente, on peut déduire que vₙ = v₀ ½ⁿ = 5/2ⁿ
et que uₙ = vₙ - 8 = 5/2ⁿ - 8
3. Pour tout entier n, on a vₙ₊₁ / vₙ = ½ < 1
On en déduit que la suite (vₙ) est strictement décroissante.
⇒ vₙ₊₁ < vₙ pour tout entier n
⇒ vₙ₊₁ - 8 < vₙ - 8 pour tout entier n
⇒ uₙ₊₁ < uₙ pour tout entier n
On en conclut que (uₙ) est à son tour décroissante.
