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Bonsoir,
1)
[tex]x^{2} > 4\\\Leftrightarrow x^{2} -4 > 0\\\Leftrightarrow x^{2} -2^{2} > 0\\\Leftrightarrow (x-2)(x+2) > 0[/tex]
On réalise alors un tableau de signes.
Valeurs de [tex]x[/tex] : [tex]-\infty[/tex] -2 2 [tex]+\infty[/tex]
Signe de [tex]x-2[/tex] : - - 0 +
Signe de [tex]x+2[/tex] : - 0 + +
Signe de [tex](x-2)(x+2)[/tex] : + 0 - 0 +
On cherche les valeurs de [tex]x[/tex] lorsque le produit est strictement positif.
D'où [tex]\mathcal{S}=]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[[/tex]
→ Il s'agit d'une affirmation fausse.
2)
[tex]x^{2}-2x-2 < 0[/tex]
Or, le discriminant de ce polynôme vaut :
[tex]\Delta=(-2)^{2}-4\times 1\times (-2)=4+8=12[/tex]
On a : [tex]\Delta=12 > 0[/tex]. On a aussi [tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}[/tex]
Ainsi, ce polynôme admet deux racines distinctes qui sont :
[tex]x_{1}=\dfrac{2-\sqrt{12} }{2}=\dfrac{2-2\sqrt{3} }{2}=\dfrac{2(1-\sqrt{3}) }{2}=1-\sqrt{3} \\ \\x_{2}=\dfrac{2+\sqrt{12} }{2}=\dfrac{2+2\sqrt{3} }{2}=\dfrac{2(1+\sqrt{3}) }{2}=1+\sqrt{3}[/tex]
Le polynôme est du signe de [tex]a=1[/tex], c'est-à-dire positif à l'extérieur des racines et du signe de [tex]-a=-1[/tex], c'est-à-dire négatif à l'intérieur des racines. (Il est également possible de réaliser un tableau de signes).
On cherche les valeurs de [tex]x[/tex] lorsque le polynôme est strictement négatif.
D'où [tex]\mathcal{S}=]1-\sqrt{3};1+\sqrt{3} [[/tex]
→ Il s'agit d'une affirmation fausse.
3) [tex]-x^{2} +x-1 < 0[/tex]
Or, le discriminant de ce polynôme vaut :
[tex]\Delta=1^{2}-4\times (-1)\times (-1)=1-4=-3[/tex]
Comme [tex]\Delta=-3 < 0[/tex], ce polynôme est toujours du signe de [tex]a=-1[/tex], c'est-à-dire négatif.
On cherche les valeurs de [tex]x[/tex] lorsque le polynôme est strictement négatif.
D'où [tex]\mathcal{S}=]-\infty;+\infty[=\mathbb{R}[/tex]
→ Il s'agit d'une affirmation fausse.
En espérant t'avoir aidé.
