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Bonjour,
1 ) voir PJ - Cf en vert / Cg en bleu.
(Δ) y = x + 1 en rouge
f et g sont deux polynômes de second degré.
Le coefficient directeur de f est positif, f admet donc un minimum (Cf est convexe).
Le coefficient directeur de f est négatif, g admet donc un maximum (Cg est concave).
2.a ) f(x) - (x + 1) = x²/4 - 3x + 13 - x - 1 = x²/4 - 4x + 12
⇒ f(x) - (x + 1) = (x/2)² - 2 (x/2) × 4 + 16 - 4 = (x/2 - 4)² - 2²
⇒ f(x) - (x + 1) = (x/2 - 4 + 2) (x/2 - 4 - 2)
⇒ f(x) - (x + 1) = (x/2 - 2) (x/2 -6)
⇒ f(x) - (x + 1) = (x - 4) (x - 12) / 4
f(x) - (x + 1) est donc négatif entre les racines, positif à l'extérieur.
f(x) - x + 1 ≤ 0 si x ∈ [4 ; 12] et f(x) - (x + 1) ≥ 0 si x ∈ ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[
2.b) f(x) - x + 1 ≤ 0 si x ∈ [4 ; 12] et f(x) - (x + 1) ≥ 0 si x ∈ ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[
ce qui équivaut à f(x) ≤ x + 1 si x ∈ [4 ; 12] et f(x) ≥ (x + 1) si x ∈ ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[
Soit Cf est au-dessous de (Δ) sur [4 ; 12] et Cf est au dessus de (Δ) sur ]-∞ ; 4] U [12 ; +∞[
3 ) f(x) - g(x) = x²/4 - 3x + 13 + x² - 12x + 27
⇔ f(x) - g(x) = 5x²/4 - 15x + 40
⇔ f(x) - g(x) = 5/4 (x² - 12x + 32)
⇔ f(x) - g(x) = 5/4 (x² - 12x + 36 - 2²)
⇔ f(x) - g(x) = 5/4 ((x - 6)² - 2²)
⇔ f(x) - g(x) = 5/4 (x - 4) (x - 8)
Cf est donc au dessus de Cg sur ]-∞ ; 4] U [8 ; +∞[ et au dessous de Cg sur [4 ; 8]
Les points d'intersection sont (4 ; 5) et (8 ; 5)
