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Bonjour !
[tex](E):4x^4-13x^2+3=0[/tex]
1) [tex](E'):4y^2-13y+3=0 \ en \ posant \ y=x^2[/tex]
[tex]\Delta = b^2-4ac\\=(-13)^2-4\times4\times3\\=121[/tex]
[tex]\Delta > 0[/tex] donc on a deux solutions réelles.
[tex]y_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} \\y_1=\frac{13-11}{2\times4} \\y_1=\frac{1}{4}[/tex]
[tex]y_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}\\y_2=\frac{13+11}{2\times4} \\y_2=3[/tex]
Les deux solutions de (E') sont 1/4 et 3.
2)
On résout maintenant les équations [tex]x^2=\frac{1}{4}[/tex] et [tex]x^2=3[/tex].
[tex]x^2= \frac{1}{4} \\\iff x=\sqrt{\frac{1}{4} }\ ou\ x= -\sqrt{\frac{1}{4} }\\\iff x=\frac{1}{2} ou\ x=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]x^2=3\\\iff x=\sqrt{3} \ ou \ x=-\sqrt{3}[/tex]
Conclusions :
[tex]S_{(E)}=\{-\frac{1}{2} ;-\sqrt{3} ;\frac{1}{2} ;\sqrt{3} \}[/tex]
3)
[tex]2x^4 + 7x^2 - 15 = 0[/tex]
On pose [tex]X=x^2[/tex]
On résout l'équation [tex]2X^2+7X-15=0[/tex]
[tex]\Delta =169[/tex] >0 donc on a deux solutions réelles.
[tex]X_1=\frac{-7+\sqrt{169} }{2\times2} =\frac{3}{2}[/tex]
[tex]X_2=\frac{-7-\sqrt{169} }{2\times2} =-5[/tex]
Pour trouver les solutions de [tex]2x^4 + 7x^2 - 15 = 0[/tex], on résout :
[tex]x^2=\frac{3}{2} \\\iff x=\frac{\sqrt{6} }{2} \ ou \ x=-\frac{\sqrt{6} }{2}[/tex]
[tex]x^2=-5[/tex] Pas de solution dans [tex]\mathbb{R}[/tex].
Donc [tex]S=\{-\frac{\sqrt{6} }{2} ;\frac{\sqrt{6} }{2} \}[/tex]
____________
[tex]x^4+3x^2+2=0[/tex]
[tex]x^4 \geq 0[/tex], [tex]3x^2\geq 0[/tex] et [tex]2 > 0[/tex] donc [tex]x^4+3x^2+2 > 0[/tex]
L'équation n'admet pas de solutions réelles.
Bonne journée
