Bonjour, voici la réponse à ton exercice :
· Premier calcul
[tex]D_f = \mathbb{R}[/tex]
[tex]5x^2 - 3x - 6 \leq 2x + 9[/tex]
⇔ [tex]5x^2 - 5x - 15 \leq 0[/tex]
⇔ [tex]x^2 - x - 3 \leq 0[/tex]
On pose le discriminant Δ de l'équation, tel que :
Δ = (-1)² - 4 × (-3)
Δ = 1 + 12 = 13
[tex]x_{1, 2} = \frac{1 \± \sqrt{13} }{2}[/tex]
· Second calcul
[tex]D_f = ] - \infty ; -4 [ \cup ] - 4 ; + \infty [[/tex]
[tex]\frac{x^2 - 4x + 3}{x + 4} \geq 0[/tex]
⇔ [tex]x^2 - 4x + 3 \geq 0[/tex]
On pose le discriminant Δ de l'équation, tel que :
Δ = (-4)² - 4 × 3
Δ = 16 - 12 = 4 = 2²
[tex]x_{1,2} = \frac{4 \± 2}{2} = 3 \ ou \ 1[/tex]
Pour dresser le tableau de signes de cette expression, on va devoir dériver cette dernière, pour étudier le signe de la fonction dérivée. On aura donc :
[tex](\frac{x^2 - 4x + 3}{x + 4})' = \frac{(x^2 - 4x + 3)'(x + 4) - (x^2 - 4x + 3)(x + 4)'}{(x +4)^2}[/tex]
[tex]= \frac{(2x - 4)(x + 4) - (x^2 - 4x + 3)}{(x + 4)^2}[/tex]
[tex]= \frac{x^2 + 8x - 19}{(x + 4)^2}[/tex]
(T'auras ton tableau de signes en pièce jointe)
· Troisième calcul
[tex]\frac{3x}{x + 1} \geq 5x[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x}{x + 1} - 5x \geq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x}{x + 1} - \frac{5x(x + 1)}{x + 1} \geq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{3x - 5x^2 - 5x}{x + 1} \geq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{- 5x^2 - 2x}{x + 1} \geq 0[/tex] | On a montré l'équivalence
⇔ [tex]-5x^2 - 2x \geq 0[/tex]
⇔ [tex]-x(5x + 2) \geq 0[/tex]
⇔ [tex]x(5x + 2) \leq 0[/tex] | Inversion des signes ⇒ Inversion du supérieur ou égal
⇔ [tex]x \leq 0 \ ou \ 5x + 2 \leq 0[/tex]
⇔ [tex]x \leq 0 \ ou \ x \leq -\frac{2}{5}[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
