Exercice 2: Efficacité des tests médicaux
Lors d'une épidémie de mathématite aiguë (passion obsessionnelle pour les
mathématiques), des tests sont effectué sur les personnes qui ont été en contact avec des
individus malades. Les premiers symptômes de cette maladie très contagieuse
n'apparaissent pas immédiatement, on souhaite repérer puis isoler les individus
asymptomatiques.
200
On étudie un échantillon de 1 000 élèves choisis au hasard dans un lycée. Au moment où on
effectue les tests, on estime que 20% des élèves de ce lycée sont contaminés.
NAFA
Les tests ne sont malheureusement pas fiables à 100%. En effet, on constate que :
* si l'élève est malade, le test est négatif dans 10% des cas;
* si l'élève n'est pas malade, le test est positif dans 5% des cas.
Le proviseur désigne au hasard un élève.
Problématique : Quelle est la probabilité qu'un élève testé négatif soit en réalité
malade ?
NA LA
On note les évènements :
M: « l'élève est malade >> et N: « le test est négatif >>.
On donne ci-contre l'arbre de probabilités pondéré
qui représente la situation donnée dans l'énoncé.
Sapproprier
NA FA A 1. Interpréter les événements M et Ñ dans le contexte de l'activité.
Seppropter
NA FA A
FA
Redliner
NAPA A
2. A l'aide des données de l'énoncé, donner la probabilité des événements « Le test est
positif sachant que l'élève est malade », notée PM (N) et « Le test est négatif sachant
que l'élève est en bonne santé »> ; notée PM (N).
Tappropper
NAFAA 3. Recopier l'arbre et préciser sur chaque branche les probabilités qui correspondent
Notaur
Vallen
NAFA
0.2
Realiser
M
Realiser
NA FA A
0,1 N
N
aux différents événements.
4. Parmi les 1000 élèves, déterminer combien sont malades et testés négatifs puis
donner P(Mn N).
5. Parmi les 1000 élèves, déterminer combien sont sains et testés négatif puis donner
P(MON).
6. Calculer la probabilité qu'un individu soit testé négatif, notée P(N).
7. Indiquer la proportion d'élèves malades parmi ceux testés négatif et répondre à la
problématique.
8. Léa est tombée malade. Son amie Axelle, cas contact, s'est donc fait tester. Le test
est négatif.
En utilisant le résultat de la question 7, Axelle a-t-elle raison de penser qu'elle n'est
pas malade ?
9. A l'aide des questions 2, 3 et 4 vérifier que P(M n N) = P(M) X PM (N).
10. A l'aide des questions 2, 3 et 6 vérifier que P(N) = P(M) x PM (N) +P(M) × PM(N).