Bonjour,
[tex] \\ \sf{Soit \: la \: suite \: (U_n) \: d\acute{e}finie \: par \: r\acute{e}currence \: par: } \\ \left \{ {{ \sf{\blue{U_0 = 4}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \atop { \sf{U_{n+1} = 4U_n - 15}}} \right. \\ \\ \sf{ Pour \: tout \: n \: \acute{e}tant \: un \: entier \: naturel \: ( \forall n \in \mathbb{N})}[/tex]
1) Calcul des 6 premiers termes.
[tex] \sf \blue{U_0 = 4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf{ \red{U_1} = 4 \times \blue{U_0} - 15 = 4 \times \blue{4 }- 15 = \red{ \boxed{1}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \ \sf{ \green{U_2}} = 4 \times \red{U_1} - 15 = 4 \times \red{1} - 15 = \green{ \boxed{ - 11}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \ \sf{ \orange{U_3} = 4 \times \green{U_2} - 15 = 4 \times \green{( - 11)} - 5 = \orange{ \boxed{ - 59}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf{ \pink{U_4} = 4 \times \orange{U_3} - 15 = 4 \times \orange{( - 59)} - 15} = \pink{ \boxed{ - 251}} \: \: \: \: \: \: \\ \sf{ \blue{U_5} = 4 \times \pink{U_4} - 15 = 4 \times \pink{( - 251)} - 15 = \blue{\boxed{ - 1019}}} \: \:\\ \sf{ U_5 = 4 \times \blue{U_5} - 15 = 4 \times \blue{( - 1019)} - 15 = \boxed{ - 4091}} [/tex]
2) Calculer les termes indiqués.
[tex]\sf{Nous \: avons \: maintenant \: V_n = U_n -5}[/tex]
[tex]\sf{ \red{V_1} = \red{U_1} - 5 = \red{1} - 5= \red{ \boxed{ - 4}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf{ \green{V_2}} = \green{U_2} - 5 = \green{ - 11} - 5 = \green{ \boxed{ - 16}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \ \sf{ \orange{V_3} = \orange{U_3 } - 5 = \orange{ - 59} - 5 = \orange{ \boxed{ - 64}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf{ \pink{V_4} = \pink{U_4} - 5 = \pink{ - 251} - 5} = \pink{ \boxed{ - 256}} \: \: \: \: \: \: \\ \sf{ \blue{V_4} = \blue{U_5} - 5 = \blue{ - 1019} - 5 = \blue{\boxed{ - 1024}}} \: \:\\ \sf{ V_5 = {U_5} - 5 = - 4091 - 5 = \boxed{ - 4096}} \: [/tex]
3) Démonstration.
[tex] \sf{Nous \: partons \: de \: V_n = U_n -5 \: \: et \: exprimons \: V_{n + 1} :} \\ \\ \sf{V_n = U_n -5} \\ \Longleftrightarrow \sf{V_{n + 1} = U_{n + 1} - 5} \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longleftrightarrow \sf{V_{n + 1}= \underbrace{4 U_n - 15}_{U_{n+1}} - 5} [/tex]
[tex] \Longleftrightarrow \sf{ V_{n + 1}= 4 U_n - 20 } \: \: \: \: \\ \Longleftrightarrow \sf{ V_{n + 1}= \red{4 \times }U_n - \red{4 \times } 5 } \\ \Longleftrightarrow\sf{ V_{n + 1}=} \red{4} \underbrace{(U_n - 5)}_{V_n} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf{On \: a \: V_{n + 1} = \red{4}V_n } \: donc \: la \: suite \: (V_n) \: est \: g \acute{e}om \acute{e}trique. \\ \\ [/tex]
[tex] \sf{Le \: premier \: terme \: de \: la \: suite \: est \: \blue{V_0} = \blue{U_0} - 5 = \blue{4} - 5 = \blue{\boxed{-1}}} \\ \\ \sf{Nous \: avons \: montr \acute{e} \: que \: la \: suite \: (V_n) \: \acute{e}tait \: une \: suite \: g \acute{e}om \acute{e}trique \: de \: raison \: q = \red{4} \: et \: de \: terme \: de \: premier \: } \\ \sf{rang \: \blue{V_0} = \blue{- 1 }.} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Bonne journée.
