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Bonjour voici mon exercice sur les suites svp aidez moi

Soit (un)neN la suite définie par uo = 0 et pour tout entier naturel n:

Un +1 = Un + 1/n+1 divisé par 2 - Un

1) Calculer u₁ sous forme de fraction irréductible, puis vérifier que u₂ = 2/3

On admet que u3 = 3/4

2) Conjecturer pour tout n entier naturel, l'écriture de un en fonction de n.
3) Démontrer cette conjecture par récurrence.

Sagot :

Mozi

Bonjour,

U₀ = 0 ; Uₙ₊₁ = (Uₙ + 1/(n+1)) / (2 - Uₙ)

1 ) U₁ = 1 / 2

U₂ = (1/2 + 1/2) / (2 - 1/2) = 2/3

2 ) Uₙ = n / (n + 1)

On a U₀ = 0 / (0 + 1)

Soit n un entier naturel tel que Uₙ = n / ( n + 1)

On a Uₙ₊₁ = (Uₙ + 1/(n+1)) / (2 - Uₙ)

⇔ Uₙ₊₁ = (n/(n+1) + 1/(n+1)) / (2 - n/(n+1))

⇔ Uₙ₊₁ = (n+ 1) / (2 (n + 1) - n)

⇔ Uₙ₊₁ = (n+ 1) / (2 n + 2 - n)

⇔ Uₙ₊₁ = (n+ 1) / ((n + 1) + 1)

Nous avons ainsi démontré par récurrence que Uₙ = n / ( n + 1) pour tout entier naturel n.

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