Partie B:La fourmi paresseuse
Une fourmi alléchée par l'odeur du sucre mais paresseuse se demande quel est le plus court chemin pour atteindre l'objet de sa
convoitise.
BB'.
Ce cube a pour côté 3 cm. Le sucre se trouve en S milieu de [AD] et la fourmi sur [BB'] en M tel que BM=BI
Sur chacune des faces du cube, la fourmi se déplace en ligne droite et il s'agit donc de trouver en quel point N elle doit couper
l'arête [A'B'] pour que la longueur du trajet MN + NS soit la plus petite possible.
Une solution approchée
On note x = B'N. et on admet que x appartient à [0;3].
1) Quelle est la nature du triangle MB'N? En utilisant un théorème connu, montrer que
la longueur MN en fonction de x est MN--
1-√√4+x²
2) Exprimer la longueur A'N en fonction de x.
Quelle est la nature du triangle NA'S?
Montrer que la longueur NS en fonction de x est NS=√√(3-x)²+2.25.
3) Montrer que la longueur totale L(x) du trajet en fonction de x est L(x)=√√4+x² + √(3-x)²+2.25.
4) En utilisant la calculatrice
Compléter le tableau suivant (valeurs arrondies à 10¹ près)
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
X
f(x)
2.25 2.5 2.75 3
A
B
5) En utilisant la partie A, où faut-il placer N pour que la distance parcourue par la fourmi soit inférieure à 5? Justifier.
6) En utilisant le tableau du 4) déterminer une valeur approchée de la longueur minimale trajet et de la valeur de x pour laquelle
elle est atteinte.
En quel point la fourmi doit-elle traverser l'arête [A'B'] ?