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Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
Soit u la suite définie par
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}u_0&=&1\\\forall n \in \mathbb{N}:u_{n+1}&=&4u_n-3n+1\\\end {array} \right.\\\\[/tex]
1. Démontrer par récurrence que, pour tout ∈ℕ , [tex]\foral n\in \mathbb{N}\quad :\quad u_n = 4 ^ n + n[/tex]
a. Initialisation
[tex]u_1=u_0-3n+1=1-3+1=-1\\u_1=4^0+0=1\\[/tex]
b. Hérédité
[tex]u_n=4^n+n\ est\ vrai\\\\u_{n+1}=4u_n-3n+1=4*(4^n+n)-3n+1=4^{n+1}+n+1\\[/tex]
La propriété étant vraie pour n, est vraie pour n+1.
2.
(a) Rappeler la formule permettant de calculer 1 + 2 +...+9+10. puis donner la valeur de cette somme.
[tex]\boxed{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\quad i=\dfrac{(n+1)*n}{2} }\\\\\\\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\quad i=\dfrac{(10+1)*10}{2} =55\\[/tex]
(b) Rappeler la formule permettant de calculer 1 + 4 ^ 1 + 4 ^ 2 +...+4^ 9 +4^ 10 , puis donner la valeur de cette somme.
[tex]\boxed{\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\quad 4^i=\dfrac{4^{n+1}-1}{4-1} }\\\\\\\displaystyle \sum_{i=0}^{10}\quad 4^i=\dfrac{4^{11}-1}{3} =349525\\[/tex]
En déduire la valeur de S10 = u0+ u1+...+u9 +u10
[tex]S_{10}=349525+55=349580\\[/tex]
