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Méthode:
Pour montrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle I, il faut partir de deux réels a et b de cet intervalle I tel que a < b.
Après avoir travaillé sur l'inégalité il faut arriver à montrer
que f(a) < f (b)

Exemple:
Montrons que f(x) = 2x² est croissante sur [0; +∞[ :
Soit a et b deux réels appartenant à l'intervalle [0; +∞[ tel que a < b.
<=> a a² < b² car la fonction carrée est croissante sur [0; +∞[
<=> 2a <2b = f(a) < f (b)
Donc f est croissante sur [0; + ∞[

Exercice 1: (5 pts)
1) Soit la fonction f définie sur R par f(x) = -4x² + 1. Montrer que f est croissante sur ] - ∞; 0].

2) Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 4(x + 2)² -3. Montrer que g est décroissante sur ] -∞; -2]

Sagot :

Mozi

Bonjour,

1)

Montrons que f(x) = -4x² + 1 est croissante sur IR- :

Soit a et b deux réels tels que a < b ≤ 0

a < b ≤ 0 ⇔ 0 ≤ -b < - a

⇔ b² < a²

⇔ -4a² < -4b²

⇔ -4a² + 1 < -4b² + 1

⇔ f(a) < f(b)

f est donc croissante sur ]- ∞ ; 0]

2)

Montrons que f(x) = 4 (x + 2)² - 3 est décroissante sur ]- ∞ ; -2] :

Soit a et b deux réels tels que a < b ≤ -2

a < b ≤ -2 ⇔ a + 2 < b +2 ≤ 0

⇔ 0 ≤ - (b + 2)  < - (a + 2)

⇔ (b + 2) ² < (a + 2) ²

⇔ 4 (b + 2) ² < 4 (a + 2) ²

⇔ 4 (b + 2) ² -  < 4 (a + 2) ² - 3

⇔ f(b) < f(a)

f est donc décroissante sur ]- ∞ ; -2]

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