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Exercice 1.

a) Montrer que 1 + √2 est une racine du polynôme -2x² + (6 - 2√2)x+ 4 (détailler les calculs).

b) Sans la calculer, on peut savoir que la deuxième racine de ce polynôme est un nombre négatif. Pourquoi ?

c) Puis, déterminer cette deuxième racine de ce polynôme (on exprimera cette deuxième racine sous la forme m + n√2 où met n sont des nombres entiers). ​

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

a) Montrer que 1 + √2 est une racine du polynôme -2x² + (6 - 2√2)x+ 4

[tex]P(x)=-2x^2 + (6 - 2\sqrt{2})x+ 4 \\\\P(1+\sqrt{2}) =-2*(1+\sqrt{2})^2+(6 - 2\sqrt{2})*(1+\sqrt{2})+4\\\\=-2(1+2\sqrt{2}+2)+(6+6\sqrt{2} -2\sqrt{2} -4)+4\\\\=-6-4\sqrt{2}+6+4\sqrt{2}\\\\=0\\[/tex]

b) le produit des racines vaut 4/-2=-2 et une racine est positive donc l'autre est négative.

c) déterminer cette deuxième racine.

Je propose de faire simplement la division de P(x) par la première racine.

[tex]\begin{array}{c|c|c|c}&x^2&x&1\\-----&---&-----&---------\\&-2&6-2\sqrt{2} &4\\x=1+\sqrt{2}&&-2-2\sqrt{2}& 4-4\sqrt{2} +4\sqrt{2}-8 \\-----&---&-----&---------\\&-2&4-4\sqrt{2} &0 \end {array}\\\\\\\\P(x)=(x-(1+\sqrt{2} )(-2x+4-4\sqrt{2} )\\=-2*(x-1-\sqrt{2} )(x-2+2\sqrt{2} )\\\\\boxed{x=1+\sqrt{2}\ ou\ x=2-2\sqrt{2}}\\[/tex]

m=2 et n=-2

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