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On considère la suite (Un) définie par Un= 1 et, pour
tout entier naturel n ≥ 1, un+1 = 2Un + 1.
• Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1,
Un= 2 exposant n - 1

Sagot :

Réponse :

On considère la suite (Un) définie par Un= 1 et, pour

tout entier naturel n ≥ 1, un+1 = 2Un + 1.

• Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ≥ 1,

Un= 2ⁿ⁻¹

* initialisation : vérifions que n = 1    P(1) est vraie

             u1 = 1 = 2¹⁻¹ = 2⁰ = 1   donc  P(1) est vraie

* hérédité  :  supposons que pour l'entier n ≥ 1  P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

un+1 = 2un + 1  ⇔ un+1 = 2(2ⁿ⁻¹) + 1 = 2ⁿ + 1   donc  P(n+1) est vraie

* conclusion   pour n = 1  P(1) est vraie  et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1  

xplications étape par étape :

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