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Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur l'exercice 45. J'ai déjà fais l'initialisation mais je sais pas comment je pourrais traduire "multiple de 6" pour mon hypothèse de récurrence.

Bonjour Jaurai Besoin Daide Sur Lexercice 45 Jai Déjà Fais Linitialisation Mais Je Sais Pas Comment Je Pourrais Traduire Multiple De 6 Pour Mon Hypothèse De Réc class=

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Soit Pₙ la propriété : 7ⁿ - 1 est un multiple de 6

Initialisation

7⁰ - 1 = 1 - 1 = 0

0 est bien un multiple de 6

Donc P₀ est vraie

Hérédité

Soit un certain n pour lequel on a 7ⁿ - 1 multiple de 6, donc on peut écrire : 7ⁿ - 1 = 6k (avec k entier relatif) (hypothèse de récurrence)

donc 7ⁿ = 6k + 1

⇔ 7×7ⁿ = 7(6k + 1)

⇔ 7ⁿ⁺¹ = 42k + 7

⇔ 7ⁿ⁺¹ = 42k + 6 + 1

⇔ 7ⁿ⁺¹ = 6(7k + 1) + 1

⇔ 7ⁿ⁺¹ - 1 = 6(7k + 1)

7ⁿ⁺¹ - 1 est donc un multiple de 6

Si Pₙ est vraie, Pₙ₊₁ est également vraie, donc Pₙ est héréditaire

Conclusion

La propriété Pₙ est vraie pour n = 0 , et elle est héréditaire.  Elle est donc vraie pour tout n entier naturel

Donc pour tout n entier nature, 7ⁿ - 1 est un multiple de 6