Bonjour,
Regardons les premiers termes de la suite
[tex]\textbf{somme de 1 terme}\\u_1=\dfrac1{\sqrt{1+1}}=\dfrac1{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\textbf{somme de 2 termes}\\u_2=\dfrac1{\sqrt{2+1}}+\dfrac1{\sqrt{2+2}}=\dfrac1{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2}\\\\\textbf{somme de 3 termes}\\u_3=\dfrac1{\sqrt{3+1}}+\dfrac1{\sqrt{3+2}}+\dfrac1{\sqrt{3+3}}\\\\\textbf{somme de n termes}\\u_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}}+...+\dfrac1{\sqrt{n+k}}+...+\dfrac1{\sqrt{n+n}}\\\\[/tex]
Pour tout k entier compris entre 1 et n
[tex]0\leq n+1\leq n+k\leq n+n[/tex]
Comme la fonction racine carrée est croissante sur son domaine de définition
[tex]\sqrt{n+1}\leq \sqrt{n+k} \leq \sqrt{n+n}=\sqrt{2n}[/tex]
Et comme la fonction inverse est décroissante sur IR+*
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n+1}} \geq \dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{2n}}[/tex]
Comme nous avons n termes, on en déduit
[tex]\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^{k=n}\dfrac{1}{\sqrt{n+k}}\geq \dfrac{n}{\sqrt{2n}}\\\\ \dfrac{n}{\sqrt{2n}}=\sqrt{\dfrac{n^2}{2n}}=\sqrt{\dfrac{n}{2}}[/tex]
d'où le résultat.
2.
En appliquant le théorème de comparaison, en remarquant que
[tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\sqrt{\dfrac{n}{2}}=+\infty[/tex]
la suite
[tex](u_n)[/tex]
est divergente.
Merci
