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Bonjour , voici mon dm pour mardi svp .Un groupe de rock souhaite organiser un concert dans un stade pouvant accueillir 50milliers de personnes. On suppose que le prix x, exprimé en euro, d’un billet est le même pour tous les spectateurs et que le nombre de spectateurs N(x) est fonction du prix du billet. On estime que N(x) = 50–x.L’organisation du concert coûte 200milliers d’euros d’installation, auxquels s’ajoutent les frais s’élevant à 5 euros par spectateur.1.Pour un prix de x euros le billet, on note C(x) le coût total du concert, R(x)la recette et B(x) le bénéfice réalisé, exprimés en millier d’euros.a.Montrer que C(x) = 450 –5x.b.Sachant que la recette est le prix de vente multiplié par le nombre de personnes, déterminer R(x).c.En déduire que B(x) = -x² + 55x –450.2.Calculer le bénéfice réalisé pour un prix de 10 €.3.Montrer que B(x) = -(x -45)(x -10).4.Déterminer la forme canonique de B.5.En utilisant la forme la plus adaptée, répondre aux questions suivantes:a.Déterminer le prix du billet permettant de réaliser un bénéfice maximum. Quel est ce bénéfice maximum?b.Déterminer les valeurs du prix du billet pour lesquelles le bénéfice est nul.c.Déterminer les valeurs du prix du billet pour lesquelles le bénéfice est strictement positif. Merciii

Sagot :

Sapin2Paques

Bonsoir,

"voici mon DM pour Mardi" nous fais juste sentir comme des larbins ou des robots sans conscience, choisissez vos mots avec plus de parcimonie la prochaine fois.

· On pose un prix x d'1 billet.

· On pose la fonction N, qu'est le nombre de spectateurs en fonction de x tel que N(x) = 50 -

· Installation : 200€ + 5€/spectateur

· On pose la fonction C, qu'est le coût total du concert.

· On pose la fonction R, qu'est la recette.

· On pose B, qu'est le bénéfice réalisé.

1. L'installation coûtant 200 000€, on rajoute à ça 5€/spectateur, c'est-à-dire 5N(x). On aura donc : C(x) = 200 + 5(50 - x) = 200 + 250 - 5x,

d'où C(x) = 450 - 5x

2. Sachant que le prix de vente est x, et le nombre de personnes venant au concert est représenté par la fonction N, on aura donc :

R(x) = xN(x)

⇔ R(x) = x(50 - x)

⇔ R(x) = - x² + 50x

3. Sachant que le bénéfice réalisé se présente comme le coût total soustrait à la recette du concert, on aura alors :

B(x) = R(x) - C(x)

⇔ B(x) = - x² + 50x - (450 - 5x)

⇔ B(x) = - x² + 50x - 450 + 5x

⇔ B(x) = - x² + 55x - 450

4. Pour un prix de 10€, on aura :

B(10) = - 10² + 55*10 - 450

= - 100 + 550 - 450

= 0

Donc si le prix est de 10€, aucun bénéfice ne sera réalisé.

5. B(x) = - (x - 45)(x - 10)

⇔ B(x) = - (x*x + x*(-10) - 45*x - 45*(-10))

⇔ B(x) = - (x² - 10x - 45x + 450)

⇔ B(x) = - x² + 55x - 450

6. On rappelle la "formule" pour déterminer une forme canonique d'un polynôme du second degré :

[tex]f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}[/tex]

On adapte donc, où [tex]a[/tex] = - 1, [tex]b[/tex] = 55 et [tex]c[/tex] = - 450.

On aura :

B(x) = - (x - 27,5)² - 306,25

7. Pour ici, tu cherches le maximum de la fonction. Tu dis que B est dérivable dans l'intervalle [0, +∞ [, puis tu dérives.

Le x où la fonction dérivée s'annule est le prix de vente du billet qui permet un bénéfice maximum. Dans ton cas, x = 27,5 permet un bénéfice max, de 306,25€.

(Je viens de voir que la forme canonique de donne toutes ces informations c'est fou les maths quand même)

8. B(x) = 0

⇔ - (x - 45)(x - 10) = 0

⇔ x - 45 = 0 ou x - 10 = 0

⇔ x = 45 ou x = 10

9. B(x) > 0

⇔ - (x - 45)(x - 10) > 0

⇔ (x - 45)(x - 10) < 0

⇔ x < 45 et x > 10

En espérant t'avoir aidé au maximum !

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