Bonjour,
Attention : Tu as mal recopié l'énoncé, il doit normalement être écrit Uₙ₊₁ = Uₙ - 2n -1 (et non + 1 à la fin)
Initialisation :
D'après énoncé : U₀ = 1 et d'autre part U₀ = 2 - (0 - 1)² = 2 - 1 = 1
Hérédité : Supposons que pour un rang n donné, Pₙ est vraie. Montrons que Pₙ₊₁ l'est aussi.
Uₙ = 2 - (n - 1)²
⇔ Uₙ₊₁ = 2 - (n - 1 + 1)² = 2 - n²
D'autre part :
Uₙ₊₁ = Uₙ - 2n +1.
= 2 - (n - 1)² - 2n - 1
= 2 - n²+ 2n + 1 - 2n - 1
= 2 - n²
Conclusion ⇒ P₀ est vraie
⇒ Pₙ → Pₙ₊₁
La propriété est vraie ∀ n
