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Bonjour j’ai besoin d’aide pour ce problème niveau terminale ( Vous trouverez la figure en pj)
Minimiser une aire:
On considère le point A de coordonnées (1;1). M et N sont les
points d’intersection d’une droite passant par A avec les des deux axes du repère. Le but du problème est de déterminer la position de M et de N pour que l’aire du triangle OMN soit minimale. On note x l’abscisse de M et y l’ordonnée de N.
1. Exprimer y en fonction de x .
2. On appelle f la fonction exprimant l’aire du triangle OMN en fonction de x. Déterminer l’expression algébrique f (x). Préciser l’intervalle d’étude de la fonction f .
3. Procéder à l’étude de la fonction sur cet intervalle puis conclure.

Bonjour Jai Besoin Daide Pour Ce Problème Niveau Terminale Vous Trouverez La Figure En Pj Minimiser Une Aire On Considère Le Point A De Coordonnées 11 M Et N So class=

Sagot :

Réponse :

Bonjour, je te propose une solution

Explications étape par étape :

1) Soient les points B et C les projetés de A sur les axes

B(1;0 ) et C(0; 1)les coordonnées de M (x; 0 ) avec x>1

les triangles  NCA et ABM sont semblables donc NC/AB=CA/BM

soient NC/1=1/(x-1) donc NC=1/(x-1) donc ON=1+1/(x-1)=x/(x-1)

2) l'aire du triangle OMN=OM*ON/2  avec OM=x et ON=x/(x-1)

on remplace f(x)=x²/[2(x-1)]

intervalle d'étude de f(x)  ]1; +oo[  car x doit être>1.

3)Etude de f(x)

Limites:

si x tend vers1+ , f(x) tend vers 1/0+=+oo

si x tend vers +oo , f(x) tend vers +oo

Dérivée:

f'(x)=[2x*(2x-2)-2*x²]/4(x-1)²=(2x²-4x)/4(x-1)²=(x²-2x)/2(x-1)²

f'(x)=0 si x²-2x=0 soit x(x-2)=0

solution x=2 la solution x=0 est exclue car x doit être >1

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x     1                               2                             +oo

f'(x)           -                     0            +

f(x)  +oo     décroît       f(2)      croît                +oo

L'aire est minimale pour x=2 donc  pour OM=2 et ON=2

OMN est un triangle isocèle d'aire 2u.a.

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