camillejonart08
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Bonjour. Je ne comprend pas cet exercice, niveau terminal
Soit (v) la suite définie par v = 1et pour tout n E N,
Vn+1 = Vn/Vn +1
1. Calculer les premiers termes de la suite (v) et conjecturer
une formule explicite pour v
2. Démontrer la conjecture de la question précédente.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1) V0 = 1
   V1 = 1 / 1+1= = 1/2
   V2 = 1/2 / (1/2 + ) = 1/2 / 3/2 = 1/2 X 2/ 3 = 1/3

Conjecture Vn+1 = 1/ (n+1)

2) Raisonnement par récurrence

Initailisation
Pour n = 0

V0 = 11/1 = 1  
Donc la propriété est vraie au rang 0

Hérédité

Admettons Vn = 1/ (n+1)

alors Vn+1 = Vn =/ (Vn + 1)
Vn+1= (1/n+1) / ( 1/n+1 +1)
       =  (1/n+1) / (n+1+1/n+1))
       = (1/n+1) / ((n+2) / (n+1)
        = 1/ (n+1) /X (n+1) / (n+2)
Vn+1 = 1 /(n+2)

donc si Vn = 1/ (n+1) alors Vn+1 = 1 /(n+2)
L'hérédité est vérifiée

La propriéré est héréditaire et vraie au rang 0 ; elle est donc vraie pour tout entier naturel n

Conclusion Vn = 1 /(n+1)

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