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Bonjour,
Je n’arrive pas à résoudre cet exercice.. serait il possible d’avoir de l’aide ?


Jason affirme que pour tout n EN, n² > 2n.
1. Jason a-t-il raison ?
Justifier.
2. Pour tout n E N, notons P(n) la propriété « n²> 2n ».
a) Soit n E N*. En supposant que P(n) est vraie, montrer
que P(n+1) est vraie.
b) P(0) est-elle vraie ?
c) Déterminer le plus petit entier naturel no tel que P(n)
soit vraie.
d) Conclure en corrigeant l'affirmation de Jason.

Bonjour Je Narrive Pas À Résoudre Cet Exercice Serait Il Possible Davoir De Laide Jason Affirme Que Pour Tout N EN N Gt 2n 1 Jason Atil Raison Justifier 2 Pour class=

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

1) Jason n'a pas raison

pour n =0 on a n² = 0 et 2n = 0

donc n² n'est pas strictement supérieur à 1

2) Pour tout n E N, notons P(n) la propriété « n²> 2n ».

a) supposons que (Pn) vraie soit n² > 2n

alors n²+2n > 4n
n²+2n +1 > 4n+ 1
(n+1)² > 4n+1 > 2n + 2
(en effet (4n+1) - (2n+2) = 2n - 1 > 0 pour n>2)
Donc si n²>2n alors (n+1)² > 2(n+1)
Donc si Pn vraie alors Pn+1 vraie
L'hérédité est vérifiée

b) Non P0 n'est pas vraie ( voir 1)

c)

1² = 1 et 2X1 = 2 donc P1 n'est pas vraie

2² = 4 et 2X2 = 2 donc P2 n'est pas vraie

3² = 9 et 3X2 = 6 donc P3 est vraie

Le plus petit entier naturel no tel que P(n)  soit vraie est n = 3

  d)

Affirmation corrigée
Pour tout n EN tel que n>2 , n² > 2n.
(La propriété est hériditaire pour tount entier naturel >2 )

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