Réponse :
{u0 = 1
{un+1 = 5un/(2un + 5)
∀n ∈ N ; un > 0
1) a) u1 = 5u0/(2u0 + 5) = 5/7
u2 = 5u1/(2u1 + 5) = (5 x 5/7)/(2 x 5/7 + 5) = 5/9
u3 = 5u2/(2u2 + 5) = 5 x 5/9)/(2 x 5/9 + 5) = 5/11
b) la suite est-elle arithmétique ?
u1 - u0 = 5/7 - 1 = - 2/7
u2 - u1 = 5/9 - 5/7 = 35/63 - 45/63 = - 10/63
u1 - u0 ≠ u2 - u1
la suite (un) n'est pas arithmétique
c) calculer 1/u0 ; 1/u1 ; 1/u2 et 1/u3
1/u0 = 1/1 = 1 = 5/5
1/u1 = 1/5/7 = 7/5
1/u2 = 1/5/9 = 9/5
1/u3 = 1/5/11 = 11/5
que constate t-on ?
on constate que les termes de la suite augmente de 2/5
3) vn = 1/un
a) montrer que (vn) est arithmétique
vn+1 = 1/un+1
= 1/5un/(2un + 5)
= (2un + 5)/5un
= 2un/5un + 5/5un
= 2/5 + 1/un
= 2/5 + vn
vn+1 = vn + 2/5 cqfd raison r = 2/5 et de premier terme v0 = 1
b) en déduire l'expression de vn en fonction de n puis celle de un en fonction de n
vn = v0 + nr = 1 + 2/5) n
vn = 1/un ⇔ un = 1/vn = 1/(1 + 2n/5)
Explications étape par étape :