zoboyvannjr
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Soit C un ensemble tel que: C={2-1/n , n €N*
1. a) Trouve trois éléments de C.
b) Justifie que 1 est un minorant de C.
c) Déduis-en que 1 est le minimum de C.
2. a) Justifie que C est majoré par 2
b) Démontre par l'absurde que 2 n'est pas le maximum de C.
3. Démontre que l'ensemble C est borné.​

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1)a) 1; 1,9; 1,99 sont trois éléments de C, en effet

pour n = 1 nous avons

[tex]2-\dfrac{1}{1}=1[/tex] qui est dans C

pour n = 10 nous avons

[tex]2-\dfrac{1}{10}=2-0.10=1.90[/tex] qui est dans C

pour n = 100 nous avons

[tex]2-\dfrac{1}{100}=2-0.01=1.99[/tex] qui est dans C

b)

[tex]\forall n \in \mathbb{N}^*\\\\n\geq 1\\\\\dfrac1{n}\leq 1\\\\-\dfrac1{n}\geq -1\\\\2-\dfrac1{n}\geq 2-1\\\\[/tex]

[tex]2-\dfrac1{n}\geq 1[/tex]

ce qui donne, que pour tous les éléments de C, 1 est un minorant

c) Or 1 est un élément de C (pour n=1) donc 1 est le minimum de C

2.a)

[tex]\forall n \in \mathbb{N}^*\\\\n\geq 0\\\\-n\leq 0\\\\2-\dfrac1{n} \leq 2[/tex]

Donc C est majoré par 2

b) Si 2 était le maximum de C il existerait un entier p tel que

[tex]2-\dfrac1{p}=2\\\\\dfrac1{p}=0[/tex]

ce qui est impossible

3. Tous les éléments de C sont compris entre 1 et 2. l'ensemble est donc bornée.

Merci

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