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Bonne journée
Explications étape par étape :
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Bonjour
Soit la suite définie par : U0 = -1 et Un+1 = rac (3Un + 4)
Pour montrer que 0 < Un < 4 pour n>0 et entier
on fait un raisonnement par récurrence
Initialisation
U1 = rac( - 3 + 4) = rac 1 = 1
donc 0< U1 < 4
Hérédité
Supposons que 0 < Un < 4
alors 0 < 3Un < 12
4 < 3Un + 4 < 16
rac 4 < rac (3Un + 4 ) < rac 4
2 < rac (3Un + 4 ) < 4
soit 2 < Un+1 < 4 et donc 0 < Un+1 < 4
Donc si 0 < Un < 4 alors 0 < Un+1 < 4
donc si la propriété est vraie au rang n elle est vraie au rang n+1
L'hérédité est vérifiée
La propriété est héréditaire et vraie au rang 1 ,
elle est donc vraie pour tout n entier > 0
Conclusion : 0 < un < 4.
